《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

类型一 抓等线段找直角三角形，设未知数，用勾股列方程
1. 如图，$CA = CB$，$AD$为$BC$上的高，$AB=\sqrt{5}$，$AD = 2$，求$AC$的长.

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$CA = CB$，$AD$为$BC$上的高，$AD = 4$，$AB = 4\sqrt{5}$，求$AC$的长.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，点$O$为$\triangle ABC$三条边的垂直平分线的交点，$AB = 13$，$AC = 13$，$BC = 10$，求$OA$的长.

答案： 1.在Rt△ABD中，BD = 1，设CD = x，
∴AC = x + 1，在Rt△ACD中，$(x + 1)^2 = x^2 + 2^2$，
∴$x = \frac{3}{2}$，
∴$AC = \frac{5}{2}$．
2.在Rt△ADB中，$BD = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = 8$，设AC = x，在△ACD中，$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，$x = 5$，
∴AC = 5．
3.延长AO交BC于点D，连OB，设AO = OB = x，AD = 12，在△OBD中，$x^2 = (12 - x)^2 + 5^2$，$x = \frac{169}{24}$．

类型二 作垂线，抓公共边，用双勾股列方程
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$BC = 7$，$AC = 4\sqrt{2}$，$AD\perp BC$于点$D$，求$BD$的长.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 15$，$AC = 13$，$BC = 14$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 4.设BD = x，则CD = 7 - x，$(7 - x)^2 + 5^2 - x^2 = (4\sqrt{2})^2$，
∴x = 3，
∴BD = 3．
5.过A作AD⊥BC于点D，设BD = x，$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$，$x = 9$，
∴AD = 12，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}×12×14 = 84$．