《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

9.如图,四边形ABCD,AC=BD=4,E、F、M、N分别为四边的中点,则EF² + MN² =______.
　　　

答案： 易知$EM\underline{\underline{//}}FN，$又
∵EM = EN，
∴四边形EMFN为菱形.设EF与MN相交于O点，OE² + OM² = 4，
∴MN² + EF² = 4×4 = 16.

10.(课本题变式)两张宽度均为6的矩形纸片按如图所示的方式放置.
　(1)求证:四边形ABCD是菱形.
　(2)若∠BCD=120°,求$S_{四边形ABCD}.$
　　　　　　

答案：
(1)易证四边形ABCD是平行四边形，作CM⊥AB于M，BN⊥AD于N，易证CM = BN，△BAN≌△CBM，
∴AB = BC，
∴□ABCD是菱形$.(2)24\sqrt{3}$

11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,且AE//CD,CE//AB.
　(1)证明:四边形ADCE是菱形;
　(2)连BE,若BE平分∠ABC,BC=6,求BE的长.
　　　　　　

答案：
(1)易证四边形ADCE是平行四边形，又CD = DA，
∴□ADCE是菱形；$(2)6\sqrt{3}$

12.如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于E、F 两点.
　　(1)判断四边形AECF的形状;
　　(2)若AB=4,BC=8,求AF的长.
　　　　　

答案：
(1)易知△AOE≌△COF，
∴AE = CF，又AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，又
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
(2)设AF = x，则BF = 8 - x，4² + (8 - x)² = x²，x = 5，
∴AF = 5.