《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1. 已知等边△ABC中，点P为平面上一点，PA = 6，PC = 8，PB = 10.
模型：(1)如图1，当P点在△ABC外时，以PA为边长向形外作等边△APD，连接CD.
①求证：CD = BP；
②求∠APC的大小.
运用：(2)如图2，当P点在△ABC内时，仿照上述方法，求∠APC的大小；
拓展：(3)如图3，在△ABC中，AC = 6，AB = 4，∠CAB = 60°，以BC为边长向外作等边△BCD，则AD的长为__________.
　　　　　 　　　 　　　

答案：

(1)①$\triangle ABP\cong \triangle ACD$，$\therefore PB = CD = 10$；②在$\triangle PCD$中，$PC = 8$，$PD = PA = 6$，$\therefore CD^{2}=PC^{2}+PD^{2}\Rightarrow \angle CPD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CPA = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$；
(2)如图2，以$PA$为边向形外作等边$\triangle PAD$，$\therefore \triangle ABP\cong \triangle ACD$，$CD = PB = 10$，在$\triangle PCD$中，$CD^{2}=PC^{2}+PD^{2}$，$\therefore \angle CPD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle APC = 150^{\circ}$.
(3)作等边$\triangle ACM$，$\therefore \triangle ACD\cong \triangle MCB$，$\therefore AD = BM$，作$ME\perp AB$于$E$点，$AD = BM=\sqrt{7^{2}+(3\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{19}$.

2. 等腰直角△ACB中，AC = BC，∠ACB = 90°.
模型：(1)如图1，若点P在△ACB外，作CE⊥CP且CE = CP，连接BE，PE，PA.求证：PA⊥BE；
运用：(2)如图1，点P在△ABC外，PC = 4，PB = 3，PA = $\sqrt{41}$，求∠CPB的度数；
拓展：(3)(2023·武汉)仿上法思考：如图2，点P在△ABC外一点，PA = 20，PB = 21，PC = $\frac{13}{2}\sqrt{2}$，求BC的长.
　　　　　　　　　　 　　　　　　

答案：
(1)$\angle CAP=\angle CBE\Rightarrow AP\perp BE$；
(2)作$CE\perp CP$，$CE = CP$，$\triangle CBE\cong \triangle CAP$，$BE = PA=\sqrt{41}$，在$\triangle PBE$中，$PB^{2}+PE^{2}=BE^{2}$，$\therefore \angle BPE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BPC = 45^{\circ}$；
(3)作$CE\perp CP$，且$CE = CP$，$\therefore PE = 13$，连$AE$交$PB$于$H$，$\therefore \triangle PCB\cong \triangle ECA$，$\therefore AE = PB = 21$，$AE\perp PB$.
设$AH = x$，$20^{2}-x^{2}=13^{2}-(21 - x)^{2}$，
$\therefore x = 16$，$BH = 9$，$\therefore AB=\sqrt{337}$.