《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图，$\square AMBF$，对角线$MF$延长线交$AC$于点$E$，点$E$为$AC$的中点，$MF = 5$，$BC = 8$，求$EF$的长.
　　

答案： 连$AB$交$MF$于点$O$，则$OE=\frac{1}{2}BC = 4$，$\therefore EF=\frac{3}{2}$.

2.如图，在$Rt\triangle ABC$中，点$D$是斜边$AB$的中点，点$E$是$BC$上一点，且$DE$平分$\triangle ABC$的周长，$AC = 2$，求$DE$的长.
　　

答案： 延长$BC$至$M$，使$CM = CA$，则$BE = EM$，$DE=\frac{1}{2}AM$，$\therefore DE=\sqrt{2}$.

3.如图，已知等边$\triangle ABC$，点$D$、$E$分别为边$AB$、$AC$上的点，且$BD = 4$，$CE = 2$，点$O$为$BC$中点，点$M$为$DE$中点，求$OM$的长.

答案： 取$BE$的中点$H$，连$OH$，$MH$，$OH = 1$，$MH = 2$，易知$\angle OHM = 120^{\circ}$，故$OM=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$.

4.如图，在$\triangle ABC$中，$AE$平分$\angle CAB$交$BC$于$E$，$AE\perp BD$于$D$，$E$是$AD$的中点，$AB = 5$，求$AC$的长.
　

答案： 延长$AC$、$BD$相交于$M$点，$AB = AM = 5$，$BD = DM$，取$BC$的中点$G$，连$DG$，则$DG\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}CM$，又$\triangle ACE\cong\triangle DGE$，$\therefore DG = AC$，$\therefore CM = 2AC$，$\therefore AC=\frac{5}{3}$.

5.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle CAB = 2\angle B$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于$D$，$CM\perp AD$于$M$点，$BC = 8$，$CM = 3$，求$AC$的长.
　

答案： 延长$CM$交$AB$于点$N$，取$BC$的中点$G$，连$MG$，则$MG// AB$，$\therefore DM = DG$，$AD = BD$，$\therefore AM = BG = 4$，$AC = 5$.