《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图，在平面直角坐标系中，点B(1,2)，AB⊥y轴于点M.点C在x轴的正半轴上，且AB = OC = m，连接AC，BO，AC⊥OB时，
　(1)判断四边形ABCO的形状;
　(2)求m的值.
　　　　　　

答案：
(1)菱形;
(2)在$\triangle AOM$中，$m^{2}=2^{2}+(m - 1)^{2}$，$m=\frac{5}{2}$。

2.如图，Rt△ACB中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D点，AE平分∠CAB分别交BC、CD于E、G，EF⊥AB于F点，连接FG.
　(1)求证：四边形CEFG为菱形;
　(2)若AB = 10，AC = 8，求菱形的边长.
　　　

答案：
(1)证明：$\because AE$平分$\angle CAB$，$\therefore EC = EF$，又$\because \angle CGE = 90^{\circ}-\angle DAG$，$\angle CEA = 90^{\circ}-\angle CAE$，$\therefore CG = CE$，$\therefore CG\equalparallel EF$，$\therefore$四边形$CEFG$为菱形;
(2)设$CE = EF = x$，$\triangle ACE\cong\triangle AFE$，$\therefore AC = AF = 8$，$BF = 2$，在$Rt\triangle BEF$中，$x^{2}+2^{2}=(6 - x)^{2}$，解得$x=\frac{8}{3}$，$\therefore EF=\frac{8}{3}$。

3.如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA = OC，OB = OD，∠1 = ∠2.
　(1)求证：四边形ABCD是菱形;
　(2)E为AO上一点，连接BE，若AE = 4，AB = 6，EB = 2$\sqrt{3}$，求AC的长.
　　　　

答案：
(1)$\because\square ABCD$，$\angle 1=\angle 2=\angle ACB$，$\therefore AB = BC$，$\therefore$四边形$ABCD$为菱形;
(2)$AC\perp BD$，设$OE = x$，$\therefore 6^{2}-(4 + x)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}-x^{2}$，$x = 1$，$\therefore AC = 10$。

4.四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG//AF交CD于点G，连接FG，DE.
　(1)求证：四边形DEGF是菱形;
　(2)若AB = 10，AF = BC = 8，求菱形DEGF边长.
　　　　　　

答案：
(1)证$\triangle EDG\cong\triangle FDG(SSS)$，$\therefore \angle EDG=\angle FDG$。$\because EG// AF$，$\therefore \angle EDG=\angle EGD=\angle FDG$，$\therefore EG = ED$，$\therefore$四边形$DEGF$为菱形;
(2)连接$CE$和$CF$，$\because \angle A=\angle B = 90^{\circ}$，$\because AF = BC$，$\therefore$四边形$ABCF$为平行四边形，$\because \angle A = 90^{\circ}$，$\therefore\square ABCF$为矩形，$\therefore CF = AB = 10$。$\because E$、$F$关于直线$CD$对称，$\therefore CE = CF = 10$，$\therefore AE = AB - BE = 4$，设$ED = FD = x$，则$AD = 8 - x$，$\therefore 4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，$\therefore x = 5$。