《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1. (1) (2022·台湾) 如图1，$AC = BC$，$AC\perp BC$，$\angle PAC = 30^{\circ}$，$PA = AC$，连接$PB$，则$\angle PBC$的大小为_____；
(2) 如图2，$\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$，$AB = 9$，$CD = 7$，点$E$在$BC$上，$BE = 5$，$CE = 2$，则$\angle AED$的大小为_____.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　D
B□
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

答案： 1.
(1)$15^{\circ}$;
(2)$45^{\circ}$

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$O$为角平分线的交点，$OD\perp AB$于点$D$，$OE\perp AC$于点$E$，$OF\perp BC$于点$F$.
(1) 求证：四边形$OECF$是正方形；
(2) 若$AD = 3$，$OD = 1$，求$BD$的长.
　　　　

答案： 2.
(1)略;
(2)设$BD = x$,$(x + 3)^{2}=4^{2}+(x + 1)^{2}$,$x = 2$,$\therefore BD = 2$.

3. 如图，矩形$ABCD$中，点$E$、$F$分别在$AD$、$CD$上，$BE\perp AF$，$BE = AF$.
(1) 求证：四边形$ABCD$为正方形；
(2) 若点$E$为$AD$中点，$BE$交$AF$于$M$点，求证：$CM = CB$.
　　　　　

答案： 3.
(1)证$\triangle ABE\cong\triangle DAF$,$\therefore AB = AD$,又$\because$矩形$ABCD$,$\therefore$四边形$ABCD$为正方形;
(2)延长$AF$交$BC$的延长线于$N$点,由
(1)知$DF = AE = CF$,$\therefore\triangle ADF\cong\triangle NCF$,$\therefore CN = AD = BC$,又$\because\angle BMN = 90^{\circ}$,$\therefore CM=\frac{1}{2}BN = BC$.

4. 如图，正方形$ABCD$中，$AB = 4$，点$E$在$AD$上，$AE = 1$，点$P$为$BC$的延长线上一点，$\angle AEB = \angle BEP$，$PE$交$CD$于$F$点.
(1) 求$PB$的长；(2) 直接写出$CF$的长为_____.
　　　

答案： 4.
(1)过$E$作$EM\perp PB$于点$M$,设$PB = x$,则$PM = x - 1$,$\therefore4^{2}+(x - 1)^{2}=x^{2}$,$x = 8.5$,$\therefore PB = 8.5$;
(2)作$BH\perp EF$于点$H$,则$BA = BH$,连$BF$,$\therefore\triangle BHF\cong\triangle BCF$,$\therefore CF = FH$,设$CF = m$,$EF = m + 1$,$(1 + m)^{2}=3^{2}+(4 - m)^{2}$,$m = 2.4$,$\therefore CF = 2.4$.