《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.(1)在图1中，在直线BC上作点E，使BE = AB；
(2)在图1中，在AB上作点M，使BM = 3；
(3)在图2中，在BC上作点D，使AD平分∠BAC；
(4)在图2中，在AC上作点M，使BM平分∠ABC；
(5)在图3中，点M在AC上，在AB上作点N，使AN = AM.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　 　　　　
*AB = AC，AO平分∠BAC
△ABP≌△ACE
⇒AP = AE

答案： 略

2.(1)在图1中，画△ABC的角平分线CE；
(2)在图1中，在AC边上画点F，使CF = BC；
(3)在图2中，找格点D，∠CAB = ∠DAB，AD = AC；
(4)在图2中，在AD上作点M，使AM = AB；
(5)在图3中，点M在BC上，在AC上作点N，使CN = CM.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　 　　 　　
*AB = AC
DE//BC
⇒AD = AE

答案： 略

3.问题：(1)如图，AC⊥CD，BD⊥CD，AC = 3，BD = 4，CD = 7，点P在线段CD上.
若PC = x，则PA = ______，PB = ______；
应用：(2)画图求$\sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(7 - x)^{2}+4^{2}}$的最小值为 ______；
拓展：(3)仿照上述模型解答下面问题：
①已知x＞0，y＞0，x + y = 24，直接写出$\sqrt{x^{2}+16}+\sqrt{y^{2}+9}$的最小值为 ____；
②求$\sqrt{x^{2}+2x + 10}+\sqrt{x^{2}-14x + 58}$的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
![img id=图7]

答案：
(1)$PA = \sqrt{9 + x^{2}}$，$PB = \sqrt{16 + (7 - x)^{2}}$
(2)作点$A$关于$CD$的对称点$A'$，连$A'B$，当$A'$，$B$，$P$三点共线时，$PA + PB$最小，此时最小值为$\sqrt{7^{2} + 7^{2}} = 7\sqrt{2}$
(3)②原式$=\sqrt{(x + 1)^{2} + 9} + \sqrt{(x - 7)^{2} + 9}$.设$x + 1 = m$，原式$=\sqrt{m^{2} + 9} + \sqrt{(m - 8)^{2} + 9}$，仿上知最小值为$\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$