《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

8.如图,等边△AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF = 45°,求证:矩形ABCD是正方形.
　　

答案：
∵∠ABC=90°,
∴CF=CE,
∴∠DFA=∠AEB,证△ABE ≌△ADF,
∴AD=AB,
∴矩形ABCD是正方形.

9.如图,在菱形ABCD中,O是对角线AC上一点,连接OB，OD.若DO = OC = 2$\sqrt{6}$,AD = 4$\sqrt{3}$,求证:四边形ABCD是正方形.
　　

答案：
∵DO²+CO²=24+24=48,
∴DO²+CO²=CD²,
∴∠COD = 90°，又菱形ABCD，
∴四边形ABCD为正方形.

10.(2023·丽水改)如图,在矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,点F在CD上,AE⊥AF,AE = AF.
　(1)求证:四边形ABCD为正方形;
　(2)点M在AD上,直线MF交直线BC于点N,AM = 1,∠N = 45°,求FN的长.
　　　

答案：
(1)证△ABE≌△ADF,
∴AD=AB,
∴矩形ABCD为正方形;
(2)
∵DM=DF,
∴AM=CF=1,
∴$FN = \sqrt{2}$

11.在正方形网格中,按下列要求作图:
　(1)在图1中,以AB为边作正方形ABCD,并在CD上作点Q,使四边形BCQP面积为5;
　(2)在图2中,连接DP,在横格线上作点M,使DP = DM;
　(3)在图3中,过P点作PQ⊥AB,并在PQ上作点E,使∠AEP = 45°.
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

答案： 略