《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图,在四边形ABCD中$,∠C = ∠BAD = 90°,AB = AD,S_{四ABCD}= 16,CD = 7,$求AB的长.
　　

答案： 作$AE\perp CD$于$E$，$AF\perp BC$于$F$，易证$\triangle ADE\cong\triangle ABF$，$\therefore AE = AF$，$AE^{2}=16$，$AE = 4$，$\therefore AB = 5$。

2.如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,正方形CEDF的顶点分别在△ABC的三边上,AD = 3，BD = 4,求DF的长.
　　

答案： 过$D$作$DM\perp AB$交$BC$于$M$，易证$\triangle ADE\cong\triangle MDF$，$\therefore DM = AD = 3$，$\therefore BM = 5$，$DF=\frac{12}{5}$。

3.如图,点P为正方形ABCD内一点,PD⊥AP,且PD = 6,求△PCD的面积.
　　　

答案： 过$C$点作$CE\perp PD$交$DP$的延长线于$E$点，$\therefore\triangle APD\cong\triangle DEC$，$\therefore CE = 6$，$\therefore S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}\times6\times6 = 18$。

4.如图，点P为正方形ABCD对角线BD的延长线上一点.连AP,过P作PE⊥AP交BC的延长线于点E,EF⊥BD于点F,求证:AB = $\sqrt{2}$PF.
　　　

答案： 易证$PA = PE$，过$A$作$AN\perp BD$于点$N$，证$\triangle PAN\cong\triangle EPF$，$\therefore AN = PF$，$\therefore AB=\sqrt{2}PF$。

5.(2021·武汉)如图，点P是正方形ABCD的边BC上一个动点,线段AE与AD关于AP对称,连EB并延长交AP于F,连CF.
　(1)若∠BAP = 20°,直接写出∠AFE的度数__________;
　(2)求证:BE = $\sqrt{2}$CF.
　　　　　　　

答案：
(1)$45^{\circ}$；
(2) 分别过$A$，$C$作$AM\perp BE$于$M$，$CN\perp EF$于$N$，易证$\triangle ABM\cong\triangle BCN$，$BM = CN = NF$，$\therefore BE=\sqrt{2}CF$。