《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

类型一 作垂线互补全等用勾股
1. 如图，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$为$BC$的中点，点$E$、$F$分别在$AB$、$AC$上，$DE\perp DF$，$BE = 3$，$CF = 4$，求$DE$的长.
　　　　　　　　　　　

答案： 连接$AD$，$\triangle ADF\cong\triangle BDE$，$\therefore AF = 3$，$AE = 4$，$\therefore EF = 5$，$\therefore DE=\frac{5}{2}\sqrt{2}$.

2. 如图，$CD = CB$，$AD = 4$，$AB = 8$，$\angle DAB=\angle DCB = 90^{\circ}$，求$AC$的长.
　　　　　　　　　　

答案： 作$CE\perp AC$，交直线$AB$于$E$点，$\triangle ACD\cong\triangle ECB$，$\because BE = 4$，$CE = AC$，$\therefore AC = 6\sqrt{2}$.

3. 如图，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$AD\perp BD$，$BD = 1$，$AD = 3$，求$CD$的长.

答案： 过$C$点作$CE\perp CD$交$AD$于$E$点，$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，$\therefore AE = BD = 1$，$\therefore CD=\sqrt{2}$.

类型二 作垂线构“K”型三垂直全等
4. 如图，$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$AD = 3$，$BD = 1$，$AC\perp AB$，$AC = AB$，求$CD$的长.

答案： 作$CM\perp AD$于$M$点，$\therefore\triangle ACM\cong\triangle BAD$，$\therefore AM = BD = 1$，$\therefore CD=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$.

类型三 作垂线构“M”型三垂直全等
5. 如图，等腰直角$\triangle ABC$，$AC = BC$，三个顶点分别在三条平行线上，$l_{1}$、$l_{2}$距离为$2$，$l_{2}$、$l_{3}$距离为$3$，则$AB$的长为______.

答案： $2\sqrt{17}$

6. (2023·丽水)在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 2\sqrt{5}$，将线段$AC$绕$C$点顺时针旋转$90^{\circ}$至$CD$，连接$BD$，求$BD$的长.
　　　　　　　　　　

答案： 作$AF\perp BC$于$F$点，$DE\perp BC$于$E$点，$\triangle ACF\cong\triangle CDE$，$\therefore DE = CF=\sqrt{5}$，$AF = CE = 2\sqrt{5}$，在$Rt\triangle BDE$中，$BD=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{85}$.