《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图，AD为△ABC的中线，F为AC上一点，BF交AD于点E，且CF = 2AF，求证：AE = DE.

答案： 取$BF$的中点$M$，连$DM$，则$DM\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}CF$，易证$\triangle DME\cong\triangle AFE$，$AE = DE$。

2.如图，AB//CD，点M为AD的中点，N为BC的中点，连MN.
（1）求证：MN//CD；
（2）求证：MN = $\frac{1}{2}(CD - AB)$.

答案：
(1)连$BM$并延长交$CD$于点$F$，易证$\triangle ABM\cong\triangle DFM$，$\therefore BM = MF$，$DF = AB$，$\therefore MN// CD$；
(2)$MN=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}(CD - AB)$。

3.如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，求证：MD = $\frac{1}{2}(AB + AC)$.

答案： 延长$BD$，$CA$交于点$N$，证$DN = DB$，$MD=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(AB + AC)$。

4.如图，∠ACB = ∠BCD = 90°，AC = BC，点E在BC上，CD = CE，点P，M，N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系.

答案： $PM = PN$且$PM\perp PN$，理由：连$AE$，$BD$，由$\triangle ACE\cong\triangle BCD$可知，$AE = BD$，$AE\perp BD$，$\because PN\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AE$，$PM\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}BD$，$\therefore PM = PN$，$PM\perp PN$。