《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点M,N分别在OA,OB上,且OM = ON.求证:BM = CN,BM⊥CN.
　　　

答案： 证$\triangle CBM\cong\triangle DCN$，或$\triangle ABM\cong\triangle BCN$，或$\triangle OCN\cong\triangle OBM$即可.

2.(2021·武汉)如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF = 90°，连CE,CF.
　(1)求证:△ABF≌△CBE;
　(2)探究AE,AF,BE之间的数量关系.
　　　　　

答案：
(1)$AB = BC$，$BF = BE$，$\angle ABF=\angle CBE$，$\therefore\triangle ABF\cong\triangle CBE$（SAS）；
(2)$AE - AF=\sqrt{2}BE$.

3.如图，点E是正方形ABCD中AD边上的中点,BD,CE相交于点F，连AF.
　(1)求证:EB = EC;
　(2)求证:AF⊥BE.
　　　　　

答案：
(1)证$\triangle ABE\cong\triangle DCE$.
(2)$\angle DAF=\angle DCF$，$\angle ABE=\angle DCE$，$\therefore\angle ABE=\angle DAF$，
$\therefore\angle BAF+\angle ABE=\angle BAE = 90^{\circ}$，$\therefore AF\perp BE$.

4.如图,已知正方形ABCD,点P在对角线BD上,PE⊥PA交BC于点E,PF⊥BC,垂足为点F.
　(1)求证:∠PEC = ∠BAP;
　(2)求证:DP = $\sqrt{2}CF$.
　　　　　

答案：
(1)$\because\angle PEC+\angle PEB = 180^{\circ}=\angle BAP+\angle BEP$，$\therefore\angle PEC=\angle BAP$.
(2)作$PM\perp CD$于点$M$，证$DP=\sqrt{2}PM=\sqrt{2}CF$.