《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.已知△ACB为等腰直角三角形，∠ACB = 90°。
(1)如图1，若CP = 2，PB = 1，∠CPB = 135°，求AP的长。
　　　
(2)如图2，PA = 3，PC = 2$\sqrt{2}$，PB = 5，求∠APC的度数。
思考：线段PA、PB与PC之间的数量关系。
　　　

答案：
(1)作$CE\perp CP$且$CE = CP$，连$EP$，$EB$，则$\triangle CBE\cong\triangle CAP$，$PE^{2}=8$，$PB^{2}=1$，$\therefore BE = PA = 3$.
(2)过$C$作$CE\perp CP$，且$CE = CP$，连$AE$、$EP$，易证$\triangle CAE\cong\triangle CBP$，$AE = PB$，$\angle APE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle APC = 135^{\circ}$.

2.如图，△ABD为等腰直角三角形，∠BAD = 90°，PA = 3，PB = 4，∠APB = 45°，求PD的长。
思考：线段PA、PB与PD之间的数量关系。
　

答案： 方法一：作$AH\perp AP$且$AH = AP$，易证$\triangle APD\cong\triangle AHB$，$\angle BPH = 90^{\circ}$，$\therefore PD = BH=\sqrt{34}$；
方法二：过$A$作$AM\perp AP$交直线$PB$于$M$，易证$\triangle APB\cong\triangle AMD$，$\therefore\angle AMD=\angle APB = 45^{\circ}$，$\angle PMD = 90^{\circ}$，$\therefore PD=\sqrt{34}$.

3.(1)如图1，△ABC为正三角形，∠APC = 30°，AP = 3，BP = 5，求CP的长；
(2)如图2，△ABC为正三角形，PA = 3，PB = 4，PC = 5，求∠APB的度数。
思考：PA、PB、PC之间数量关系。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　P
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)作正$\triangle CPE$，则$\triangle BCP\cong\triangle ACE$，$AE = BP = 5$，则$CP = PE = 4$.
(2)作正$\triangle APE$，则$\triangle ABE\cong\triangle ACP$，$BE = 5$，$\therefore\angle BPE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle APB = 150^{\circ}$.