《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1. 如图，在菱形ABCD中，F是边AB上一点，DF交AC于E，连BE，求证：$\angle AFD=\angle CBE$.
　　　

答案： 证$\triangle CBE\cong \triangle CDE$，$\angle CBE=\angle CDE$，$\because CD// AB$，$\therefore \angle CDE=\angle AFE$，$\therefore \angle AFD=\angle CBE$.

2. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且$\angle CDF = 24^{\circ}$，求$\angle DAB$的度数.
　　　

答案： 连$BF$，$\triangle CDF\cong \triangle CBF$，$BF = DF$，又$AF = BF$，$\therefore FD = FA$，设$\angle CAD=\alpha$，$\therefore \angle DFC = 2\alpha$，$\therefore 2\alpha+\alpha+24^{\circ}=180^{\circ}$，$\therefore \alpha = 52^{\circ}$，$\therefore \angle DAB = 104^{\circ}$.

3. 已知矩形ABCD，AB = 8，AD = 12，菱形EGFH，E、F分别在BC、AD上，H、G在对角线AC上，求BE的长.
　　　

答案： 连$AC$，$EF$交$AC$于$O$点，易知$OE = OF$，$\therefore \triangle AOF\cong \triangle COE$，$\therefore OA = OC$，而$OE\perp AC$，$\therefore AE = CE$，设$BE = x$，在$\triangle ABE$中，$8^{2}+x^{2}=(12 - x)^{2}$，$x=\frac{10}{3}$，$\therefore BE=\frac{10}{3}$.

4. 如图，在菱形ABCD中，点E、F在四边所在的直线上，且$\angle AED=\angle CFD$，求证：DE = CF.
　

答案： 作$CM\perp AD$于点$M$，$DN\perp AE$于点$N$，证$\triangle MDC\cong \triangle AND$，$\triangle MCF\cong \triangle NDE$，得$DE = CF$.