《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

已知四边形ABCD是正方形，点E为BC上一点，AE⊥EF，CF为∠BCD的外角平分线，求证：AE = EF.
方法一
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作BM = BE，证△AEM≌△FEC
方法二
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作EM⊥AC，EN⊥CF，证△AEM≌△FEN
方法三
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作EM⊥BC，证△AEM≌△FEC
方法四
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作EM⊥BC，证△ACE≌△FME

答案：

变式1.如图，正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，∠AEF = 90°，∠ECF = 45°，求证：AE = EF.

思考：若点E在BC延长线上，其它条件不变，上述结论是否成立，并证明.

答案： 方法一:在AB的延长线上取AG=CE，证△AGE≌△FEC;
方法二:连AC,作EM⊥BC交直线AC于点M,证△AEM≌△EFC;
方法三:在AC上取CH=CF,证EF=EH=AE;
方法四:过E作EM⊥AC于M,EN⊥CF于点N,证△AEM≌△FEN.

变式2.如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC = 60°，点E是BC边上一点，∠AEF = 60°，且EF交直线CD于点F，求证：AE = EF.

答案： 方法一:在AB上截取AG=CE,证△AGE≌△ECF;方法二:连AC,在AC上截取CM=CE,证△AEM≌△FEC;方法三:在FC的延长线上截取CM=CE,证△AEC≌△FEM.

变式3.(2023·武汉)如图，菱形ABCD，∠ABC = α，点E在BC上，AE = EF，∠AEF = α，连接CF，求∠DCF的大小.

思考：若点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，其它条件不变，上述结论是否成立，并证明.

答案： 在AB上取点M，使BE=BM，△AEM≌△EFC，∠AME=∠ECF=$\frac{180^{\circ}+\alpha}{2}$，
∴∠DCF=90°+$\frac{\alpha}{2}$−(180°−α)=$\frac{3\alpha}{2}$−90°.