《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

10.如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连AF，BF.
　(1)求证：四边形BFDE是矩形；
　(2)若AF平分∠BAD，CF = 3，AB = 8，求AF的长.
　　　

答案：
(1)略；
(2)
∵AB = 8，
∴DF = AD = BC = 5，
∴BF = 4，
∴AF=$\sqrt{8^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{5}$.

11.如图，已知在□ABCD中对角线AC与BD相交于点E，点G是AD的中点，连接CG，CG 的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
　(1)求证：AB = AF；
　(2)若AG = AB，∠BCD = 120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.
　　　

答案：
(1)△AFG≌△DCG，
∴AF = CD = AB；
(2)
∵AG = AF，∠FAG = 60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴AD = CF，又
∵$\square$ACDF，
∴四边形ACDF为矩形.

12.如图，已知在△ABC中，AB = AC，点P在BC上，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD⊥AB 于D.求证：PE + PF = CD.
　　　　

答案： 过P作PM⊥CD于点M，易证△PMC≌△CFP，
∴PF = CM，又PE = DM，
∴PE + PF = CD.

13.(1)如图1，在□ABCD中，M，N为BD上两点，且BM = DN，AC = 2OM.
　　　①求证：四边形AMCN是矩形；
　　　②若∠BAD = 135°，CD = 2，AB⊥AC，则四边形ABCD的面积为________．
　(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，P是AB上动点，PF⊥BC于点F，PE⊥AC于点E，连接EF，则线段EF的最小值为__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　A　　　P　　　　　B
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

答案：
(1)①
∵OB = OD，BM = CN，
∴OM = ON，
∵$\square$ABCD，又AC = MN，
∴矩形AMCN；
②4；
(2)4.8.