《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.已知$a = 2 - \sqrt{3}$，$b = 2 + \sqrt{3}$，求$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
* 可先求$a + b$，$ab$再用乘法公式

答案：
∵a+b=4,ab=1,
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{a²+b²}{ab}$=$\frac{(a+b)²−2ab}{ab}$=14.

2.已知$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3} + \sqrt{5}$，$c = \sqrt{5} + \sqrt{2}$，求$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc$的值.

答案： 原式=$\frac{1}{2}$[(a−b)²+(b−c)²+(a−c)²]=10−$\sqrt{10}$−$\sqrt{6}$−$\sqrt{15}$

3.已知$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，求$3x^{2} - 2xy + 3y^{2}$的值.

答案： 原式=3(x+y)²−8xy=28.

4.已知$x = \sqrt{2021} - 1$，求$x^{2} + 2x + 4$的值.
　　　
* 去根号降次：
$x = \sqrt{3} - 1$
$\therefore x + 1 = \sqrt{3}$
$(x + 1)^{2} = 3$
$x^{2} + 2x - 2 = 0$
运用这个方法降次

答案：
∵x+1=$\sqrt{2021}$
∴(x+1)²=2021,
∴原式=(x+1)²+3=2024.

5.已知$x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}$，求下列式子的值：
(1)$(x + \frac{1}{x})^{2}$；
(2)$x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$.

答案：
(1)(x−$\frac{1}{x}$)²=5,
∴(x+$\frac{1}{x}$)²=9;
(2)x⁴+$\frac{1}{x⁴}$=(x²+$\frac{1}{x²}$)²−2=[(x+$\frac{1}{x}$)²−2]²−2 = 47.

6.(教材P15T8变式)已知$a^{2} - \sqrt{10}a + 1 = 0$，求$a - \frac{1}{a}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
* 先根据等式性质两边同除以$a$，求出$a + \frac{1}{a}$的值

答案： 显然a≠0,
∴a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{10}$
∴(a−$\frac{1}{a}$)²=(a+$\frac{1}{a}$)²−4 = 6,a−$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{6}$.