《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB$的垂直平分线$DE$交$BC$于$D$点，$AC = 5$，$BC = 10$，求$CD$的长。

答案： 连$AD$，设$CD = x$，则$BD = AD = 10 - x$，$5^{2}+x^{2}=(10 - x)^{2}$，$\therefore x=\frac{15}{4}$。

2.如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$，求$BD$的长。

答案： 方法1：过$D$点作$DE\perp AB$于$E$，设$CD = DE = x$，在$Rt\triangle ACB$中，$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$，$x = 3$，$\therefore BD=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$。
方法2：$S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABC}$，$\therefore CD = 3$，$\therefore BD = 3\sqrt{5}$。

3.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$，$AD = 1$，$CD = 2$，求$BD$的长；

答案： 设$BD = x$，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，则$5 + x^{2}+4=(x + 1)^{2}$，$\therefore x = 4$。

4.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$，$BC = 3$，$AC = 4$，求$BD$的长。

答案： 设$BD = x$，$CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$，则$9 - x^{2}+(5 - x)^{2}=16$，$\therefore x=\frac{9}{5}$。