《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE.
　(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
　(2)若AB = 6,AD = 8,求OE的长.
　　　　

答案：
(1)证$\triangle ABE\cong \triangle CDF$，$AE = CF$，又$AE// CF$，$\therefore \square AECF$；
(2)$BD = 10$，由面积法得$AE = 4.8$，$AO = 5$，$\therefore OE=\sqrt{5^{2}-4.8^{2}}=1.4$.

2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OE⊥AC交BC于点E,AB = 4,BC = 8，求BE的长.
　　

答案： 连$AE$，设$BE = x$，$CE = AE = 8 - x$，$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$，$x = 3$，$\therefore BE = 3$.

3.如图，在矩形ABCD中,若E、F分别为BC、DC中点，连AE、AF,AB = 4,AE平分∠BAF,求AD的长.
　　　

答案： 延长$AE$交直线$DC$于$M$点，$\therefore \angle BAE=\angle M=\angle FAE$，$\therefore AF = FM = 6$，$\therefore AD=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4\sqrt{2}$.

4.如图，矩形ABCD,对角线AC、BD交于O点，点P在BC上,PE⊥OB,PF⊥AC,垂足分别为E、F,若AB = 6,BC = 8,求PE + PF的值.
　　　

答案： 作$BM\perp AC$于$M$点，由面积法知$BM = 4.8$，$\therefore PE + PF = BM = 4.8$.

5.在下列正方形网格中，请用无刻度的直尺按要求作图:
　(1)在图1中,以AB为对角线作矩形,使其面积为6;
　(2)在图2中,过B作矩形ABEF,使EF经过点C.
　　　　　　　　　　 　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　图2

答案： 略