《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

10.如图，延长矩形$ABCD$的边$BC$至点$E$，使$CE = BD$，连接$AE$．
(1)若$\angle ADB = 40^{\circ}$，求$\angle E$的度数；
(2)若$AB = 3$，$CE = 5$，则$AE$的长为________．
　　　　　

答案： 10.
(1)连接AC，
∵AC = BD，CE = BD，
∴AC = CE，
∴∠E = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$∠ADB = 20°；
(2)
∵AB = 3，CE = AC = 5，
∴BC = 4，
∴BE = 9，
∴AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}$ = 3$\sqrt{10}$.

11.如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AE$平分$\angle BAD$交$BC$于$E$，$BE = OB$，求$\angle OEA$的度数．
　　　　

答案： 11.30°.

12.如图，$BE$，$CF$分别是$\triangle ABC$的高，$M$为$BC$的中点．若$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 50^{\circ}$，求$\angle EMF$的度数．
　　　

答案： 12.ME = MF = $\frac{1}{2}$BC，
∴∠CME = 60°，∠BMF = 80°，
∴∠EMF = 40°.

13.如图，在矩形$ABCD$中，点$E$在$BC$上，连$DE$，$AE$平分$\angle BED$．
(1)若$AB = 3$，$DE = 5$，则$BE$的长为____；
(2)若$BE = 1$，$AB = 3$，求$BC$的长．
　　　　

答案： 13.
(1)
∵∠AEB = ∠DAE = ∠AED，
∴AD = DE = 5，
∴EC = 4，BE = 1；
(2)
∵AD = DE = BC，设BC = x，EC = x - 1，DE = x，$x^{2}=(x - 1)^{2}+3^{2}，$
∴x = 5，
∴BC = 5.