《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

9.已知$m = 1+\sqrt{2}$，$n = 1-\sqrt{2}$，则代数式$m^{2}+n^{2}-3mn$的值为( )
A.2
B.3
C.9
D.6

答案： C

10.(课本题改编)已知$n$为正整数，$\sqrt{189n}$是整数，则$n$的最小值为( )
A.20
B.21
C.22
D.19

答案： B

11.(课本题改编)已知$x = 2-\sqrt{3}$，则代数式$(7 + 4\sqrt{3})x^{2}+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$的值是( ).
A.0
B.$\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2-\sqrt{3}$

答案： C

12.计算：
(1)$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}$； (2)$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}$.
(3)$\sqrt{2}(2\sqrt{6}-\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)^{2}$； (4)$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$.

答案：
(1)8 + 2$\sqrt{15}$;
(2)22 - 4$\sqrt{10}$;
(3)6$\sqrt{3}$ - $\sqrt{6}$ - 4;
(4)2$\sqrt{2}$

13.(1)(教材P19T5变式)已知$x = 1-\sqrt{2}$，$y = 1+\sqrt{2}$，求$x^{2}+y^{2}+3xy - 2x - 2y$的值.

(先求$x + y$与$xy$，再结合乘法公式较简单一些.)
(2)(教材P19T6变式)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求$x^{2}+xy + y^{2}$的值.

答案：
(1)
∵x + y = 2,xy = -1,
∴x² + y² + 3xy - 2x - 2y = (x + y)² - 2(x + y) + xy = -1.
(2)x + y = $\sqrt{5}$,xy = 1,原式 = (x + y)² - xy = 4.

14.(2023·江夏)如图，长方形ABCD中去掉三个正方形，边长分别为$m$、$n$、1.若$m=(a+\frac{1}{a})^{2}+2\sqrt{5}$，$n=a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}-1$，求阴影部分的面积.

答案： (a - $\frac{1}{a}$)² = 6 - 2$\sqrt{5}$,
∴a² + $\frac{1}{a^{2}}$ = 8 - 2$\sqrt{5}$,
∴m = 10,
∴S阴影 = (m + n + 1)m - m² - n² - 1 = 12$\sqrt{5}$ - 7.