《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图,矩形ABCD中,BC=10,AB=6,M为AB上一点,将矩形ABCD沿CM所在的直线折叠，B点恰好落在AD上的点B'处,求BM的长.
　　　　

答案： 设$BM = x$，$\because BC = B'C = 10$，$\therefore B'D = 8$，$AB' = 2$，$AM = 6 - x$，在$Rt\triangle AMB'$中，$2^{2}+(6 - x)^{2}=x^{2}$，$BM = x=\frac{10}{3}$。

2.如图,在矩形ABCD中,AB=8,点E、F分别在CD、BC上,DE=3,将矩形沿EF折叠，点C落在AD上P点处,求PF的长.
　　　

答案： $PE = CE = 5$，$PD=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，作$FM\perp AD$于$M$，设$PF = x$，在$Rt\triangle PMF$中，$x^{2}=8^{2}+(x - 4)^{2}$，$x = 10$。

3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，求EF 的长.
　　　　

答案： 设$BE = x$，$CE = 8 - x = AE$，在$Rt\triangle ABE$中，$\therefore 4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，$x = 3$，$\therefore AE = AF = 5$，作$FM\perp CE$于$M$，则$EM = 2$，在$Rt\triangle FME$中，$\therefore EF=\sqrt{EM^{2}+FM^{2}} = 2\sqrt{5}$。

4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内的F点处，连CF,求CF的长.
　　　

答案： 连$BF$交$AE$于$M$，$BE = 3$，$\therefore AE = 5$，设$EM = x$，$3^{2}-x^{2}=4^{2}-(5 - x)^{2}$，$x=\frac{9}{5}$，$\therefore CF = 2EM=\frac{18}{5}$。

5.如图，在矩形ABCD中,点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部,将BG延长交DC于点F.
　(1)若CD=2,DF=1,求$\frac{AD}{AB}$的值;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(2)若DC=nDF,直接写出$\frac{AD}{AB}$的值:______________.

答案：
(1)易知$CF = 1$，$GF = DF = 1$，$BG = AB = 2$，$BF = 3$，在$Rt\triangle BCF$中，$BC = 2\sqrt{2}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
(2)设$DF = 1$，$CD = n$，$AE = DE = x$，则$(n + 1)^{2}=(n - 1)^{2}+(2x)^{2}$，$x=\sqrt{n}$，$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{n}}{n}$。