《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2.（1）如图1，在△ABC中，AD是△ABC的中线. 若AB = 5，AC = 3，AD = 2，求证：AD⊥AC.
　　　　　　　　　　　　
思路分析：利用中线构造中心对称型全等，也称倍长中线，目的是将分散的已知线段转移到同一个三角形中。

（2）如图2，在（1）的基础上，过点C作CE = AB，与DA的延长线交于点E，过点E作EF//AB，与CB的延长线交于点F，求证：ED平分∠FEC.
　　　

拓展：如图3，已知四边形ABCD是矩形，点E是对角线BD的中点，点F是AB上的点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交AD于点G，连接FG. 若BF = 3，DG = 6，求FG的长.
　　　

答案：
证明:
(1)如答图1,延长AD至点M,使得DM = AD,连接CM

∵AD是△ABC的中线,
∴BD = CD.
∵∠ADB = ∠MDC,
∴△ABD≌△MCD(SAS).
∴CM = AB = 5.
∵AD = 2,
∴AM = 2AD = 4.
∴AM² + AC² = 16 + 9 = 25.
∵CM² = 25,
∴AM² + AC² = CM².
∴△ACM是直角三角形,∠CAM = 90°.
∴AD⊥AC.
(2)如答图2,延长AD至点M,使得DM = AD,连接CM,

由
(1)可得△ABD≌△MCD,
∴AB = CM,∠BAD = ∠M.
∵AB = CE,
∴CM = CE.
∴∠MEC = ∠M.
∴∠BAD = ∠MEC.
∵AB//EF,
∴∠BAD = ∠FED.
∴∠MEC = ∠FED.
∴ED平分∠FEC.
拓展:如答图3,延长FE交CD于点N,连接GN,

∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,∠ADC = 90°.
∴∠ABD = ∠CDB.
∵E是BD的中点,
∴BE = DE.
∵∠BEF = ∠DEN,
∴△BEF≌△DEN(ASA).
∴BF = DN = 3,EF = EN.
在Rt△DGN中,GN = $\sqrt{DN² + DG²}$ = $\sqrt{3² + 6²}$ = 3$\sqrt{5}$.
∵GE⊥FN,EF = NE,
∴GE垂直平分FN.
∴GF = GN = 3$\sqrt{5}$.