《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD = $\frac{1}{4}$AB，反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k ≠ 0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M.连接OD，OM，DM.若△ODM的面积为3，则k的值为______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
4
点拨：如图析，连接BM. 设B点的坐标为(a,b)，则M($\frac{a}{2}$,$\frac{b}{2}$)，
由AD = $\frac{1}{4}AB$，则D($\frac{a}{4}$,b). 易得$S_{\triangle BDM}=\frac{3}{16}ab$，所以$\frac{1}{4}ab = k$，
由$S_{\triangle ODM}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AOD}-S_{\triangle BDM}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}k-\frac{3}{16}ab = 3$，可得ab = 16，所以k = 4.

2.如图，一次函数y₁ = kx + b(k ≠ 0)与反比例函数为y₂ = $\frac{m}{x}$(m ≠ 0，x ＞ 0)的图象交于A(4，1)，B$(\frac{1}{2}, a)$两点.
(1)求一次函数及反比例函数的表达式.
　　　　　
(2)当y₁ - y₂ ＞ 0时，请根据图象直接写出x的取值范围.
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数y₂的图象于点Q.若△POQ面积为3，求点P的坐标.

答案： 解：
(1)把点A(4,1)代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得m = 4.
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{4}{x}$.
把点B($\frac{1}{2}$,a)代入$y_2=\frac{4}{x}$中，得a = 8.
∴点B的坐标为($\frac{1}{2}$,8).
把点A(4,1)，B($\frac{1}{2}$,8)代入$y_1 = kx + b(k≠0)$中，
得$\begin{cases}4k + b = 1\\\frac{1}{2}k + b = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 9\end{cases}$.
∴一次函数的表达式为$y_1=-2x + 9$.
(2)$\frac{1}{2}＜x＜4$.
(3)根据题意设点P的坐标为(t,-2t + 9)，则点Q的坐标为(t,$\frac{4}{t}$).
∴PQ = -2t + 9 - $\frac{4}{t}$，OM = t.
∵$S_{\triangle POQ}=3$，
∴$\frac{1}{2}t(-2t + 9 - \frac{4}{t}) = 3$，解得$t_1=\frac{5}{2}$，$t_2 = 2$.
当t = $\frac{5}{2}$时，-2t + 9 = 4，
∴P($\frac{5}{2}$,4).
当t = 2时，-2t + 9 = 5，
∴P(2,5).
∴点P的坐标为($\frac{5}{2}$,4)或(2,5).