《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2. 如图1，有一块直角三角形空地AEF，∠A = 90°，已知AE = 8米，AF = 6米，现在要靠着两面直角墙AE和AF围一个矩形花园ABCD，点C在EF上，则花园的最大面积是多少?
　　　
变式：如果矩形花园GCBH要靠着墙面EF，改为如图2的位置，点B，C在EF上，点H在AF上，点G在AE上，其他条件不变. 此时花园的最大面积是多少?
　　　

答案： 解：设花园的面积为$y$平方米，$DC$的长度为$x$米，则$AB = x$米。
在$Rt\triangle AEF$中，$\tan E=\frac{AF}{AE}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
∴$DE=\frac{DC}{\tan E}=\frac{4}{3}x$米。
∴$AD = AE - DE=(8 - \frac{4}{3}x)$米。
∴$y = AD\cdot AB = x(8 - \frac{4}{3}x)=-\frac{4}{3}x^{2}+8x=-\frac{4}{3}(x - 3)^{2}+12$。
∵$-\frac{4}{3}＜0$，
∴当$x = 3$时，$y$有最大值，最大值是12。
答：花园的最大面积是12平方米。
变式：设矩形花园$GCBH$的面积为$y$平方米，$GH = 5x$米，
则$AG = 4x$米，$EG=(8 - 4x)$米，$GC=\frac{3}{5}(8 - 4x)$米。
∴$y = GH\cdot GC = 5x\cdot\frac{3}{5}(8 - 4x)=-12x^{2}+24x=-12(x - 1)^{2}+12$。
∵$8 - 4x＞0$且$5x＞0$，
∴$0 ＜ x ＜ 2$。
∴$x = 1$时，$y$有最大值，最大值是12。此时$GH = 5$米。
答：此时花园的最大面积是12平方米。

提分训练 方法触类旁通
如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 4，BC = 2，BD是边AC上的高. 点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF. 设AE = x，四边形DEBF的面积为y，请求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
　　

答案：
解：如答图，过$D$作$DH\perp AB$于$H$。

∵$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 2$，
∴$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 2\sqrt{5}$。
∵$BD$是边$AC$上的高，
∴$BD=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
∴$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$AD = AC - CD=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
∴$DH=\frac{AD\cdot BD}{AB}=\frac{8}{5}$。
∴$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AE\cdot DH=\frac{1}{2}x\times\frac{8}{5}=\frac{4}{5}x$，
$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}BE\cdot DH=\frac{1}{2}(4 - x)\times\frac{8}{5}=\frac{16}{5}-\frac{4}{5}x$。
∵$\angle EDF=\angle CDB = 90^{\circ}$，
∴$\angle BDE = 90^{\circ}-\angle BDF=\angle CDF$，$\angle DBE = 90^{\circ}-\angle CBD=\angle C$。
∴$\triangle BDE\sim\triangle CDF$，
∴$\frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle BDE}}=(\frac{CD}{BD})^{2}=\frac{1}{4}$。
∴$S_{\triangle CDF}=\frac{1}{4}S_{\triangle BDE}=\frac{1}{4}(\frac{16}{5}-\frac{4}{5}x)=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}x$。
∴$y = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2}\times2\times4-\frac{4}{5}x-(\frac{4}{5}-\frac{1}{5}x)=-\frac{3}{5}x+\frac{16}{5}(0 ＜ x ＜ 4)$。