《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2. 综合与实践
（1）如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边AB，AD上，连接GC，且∠BAD = 60°，请直接写出HD：GC：EB的值.
　　　　
（2）如图2，将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，连接HD，EB. 求HD：GC：EB.
　　　　
（3）如图3，把图2中的菱形都换成矩形，且AD：AB = AH：AE = 1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）中的结果相比有变化吗？若有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由.
　　　

答案：
解：
(1)$HD:GC:EB = 1:\sqrt{3}:1$。
(2)如答图，连接AG，AC，BD，BD与AC交于点O。

∵四边形ABCD，AEGH均为菱形，
∴$AD = AB$，$AH = AE$，$AC\perp BD$，$AC = 2OA$，
∠DAO = ∠HAG = 30°。
在Rt△AOD中，$\cos\angle DAO=\cos30^{\circ}=\frac{OA}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$OA = \frac{\sqrt{3}}{2}AD$。
∴$AC = \sqrt{3}AD$。同理$AG = \sqrt{3}AH$。
∴$AD:AC = AH:AG = 1:\sqrt{3}$。
∵∠DAC = ∠HAG = 30°，
∴∠DAC - ∠HAC = ∠HAG - ∠HAC，即∠DAH = ∠CAG。
∴△DAH∽△CAG。
∴$HD:GC = AD:AC = 1:\sqrt{3}$。
在△DAH和△BAE中，
∵$AD = AB$，∠DAH = ∠BAE，$AH = AE$，
∴△DAH≌△BAE(SAS)。
∴$HD = EB$。
∴$HD:GC:EB = 1:\sqrt{3}:1$。
(3)有变化，$HD:GC:EB = 1:\sqrt{5}:2$。
点拨：如图析，连接AG，AC，

由题易得$AD:DC:AC = 1:2:\sqrt{5}$，$AH:HG:AG = 1:2:\sqrt{5}$，
易证△DAH∽△CAG，得到$HD:GC = AD:AC = 1:\sqrt{5}$。
易证△ADH∽△ABE，得到$DH:BE = AD:AB = 1:2$。
∴$HD:GC:EB = 1:\sqrt{5}:2$。