《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

核心素养提升—问题解决
某课外活动小组利用几何画板研究二次函数的图象，给出二次函数表达式$y = x^2 + bx + c$，通过输入不同的$b,c$的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
(1)若输入$b = 2,c = -3$，得到如图1所示的图象，求顶点$C$的坐标及抛物线与$x$轴的交点$A,B$的坐标.
(2)如图2，已知点$P(-1,10),Q(4,0)$.
①若输入$b,c$的值后，得到的图象恰好经过$P,Q$两点，求出$b,c$的值.
②淇淇输入$b$，嘉嘉输入$c = -1$，若得到二次函数的图象与线段$PQ$有公共点，求淇淇输入$b$的取值范围.

答案： 解：
(1) $y = x^{2}+bx + c$，当$b = 2,c = -3$时，
$y = x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，
$\therefore$顶点$C$的坐标为$(-1,-4)$.
当$y = 0$时，$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x_{1} = -3,x_{2} = 1$，
$\because$点$A$在点$B$的左侧，$\therefore A(-3,0),B(1,0)$.
(2) ① $\because$抛物线恰好经过$P,Q$两点，
$\therefore\begin{cases}1 - b + c = 10,\\16 + 4b + c = 0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = -5,\\c = 4.\end{cases}$
②当$c = -1$时，$y = x^{2}+bx - 1$，当$x = 0$时，$y = -1$，
$\therefore$抛物线过点$(0,-1)$.
当$x = -1$时，$y = 1 - b - 1 = -b$，当点$(-1,-b)$在点$P$上方，或与点$P$重合时，抛物线与线段$PQ$有公共点，即$-b\geq10$，解得$b\leq -10$. 当$x = 4$时，$y = 16 + 4b - 1 = 4b + 15$，
当点$(4,15 + 4b)$在点$Q$上方，或与点$Q$重合时，抛物线与线段$PQ$有公共点，
即$15 + 4b\geq0$，解得$b\geq-\frac{15}{4}$. 综上，$b\leq -10$或$b\geq-\frac{15}{4}$.