《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

3.（2024省适应性二改编）如图，在正方形ABCD中，AB = 6，点E是射线CD上的一个动点，连接AE，以AE为边向上方作正方形AEGF，连接DF。
（1）如图1，当点E是CD的中点时，判断线段AF与DF的数量关系，并说明理由。

（2）如图2，当点E在线段CD的延长线上时，DF与AE交于点P。若点P是线段AE的三等分点，请直接写出DE的长。

答案：
解：
(1)AF = DF.
理由如下：
如答图，过点F作FH⊥AD于点H，则∠FHA = 90°.

∴∠1 + ∠2 = 90°.
∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，
∴AD = CD，AE = AF，∠EAF = 90°，∠ADE = 90°.
∴∠2 + ∠3 = 90°.
∴∠1 = ∠3.
又
∵∠FHA = ∠ADE = 90°，
∴△FHA ≌ △ADE(AAS).
∴AH = DE.
∵点E为CD的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}$CD.
∴AH = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$AD.
∴AH = DH.
∴FH垂直平分AD.
∴AF = DF.
(2)3$\sqrt{3}$ - 3或6.
点拨：如图析，过点F作FM⊥AD交DA的延长线于点M，延长BA交DF于点N.

则可得△AFM ≌ △EAD，△PDE ∽ △PNA，△DAN ∽ △DMF.
点P是线段AE的三等分点可分为两种情况：EP:PA = 1:2或EP:PA = 2:1.

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D为BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE。若CE = 2，则△BEC的面积为________.

答案： 2

2. 真题变式 如图，在矩形ABCD中，AD = 2AB，E是AB延长线上的一点，且BE = AB。
（1）如图1，连接DE交BC于点M。以DE为一边在DE的右上方作正方形DEFG，连接AF。若AD = 2，则△AEF的面积为________.

（2）如图2，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上。除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明。

答案：
解：
(1)2
(2) 一题多解
点F在BC边的垂直平分线上.
证明：方法一，如答图1，过点F作FM⊥BC于点M，

过点E作EN⊥FM于点N.
∴∠BMN = ∠ENM = ∠ENF = 90°.
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE = ∠ABC = 90°.
∴四边形BENM为矩形.
∴BM = EN，∠BEN = 90°.
∴∠1 + ∠2 = 90°.
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF = EC，∠CEF = 90°.
∴∠2 + ∠3 = 90°.
∴∠1 = ∠3.
∵∠CBE = ∠ENF = 90°，
∴△ENF ≌ △EBC.
∴NE = BE.
∴BM = BE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC.
∵AD = 2AB，AB = BE，
∴BC = 2BM.
∴BM = MC.
∴FM垂直平分线段BC.
∴点F在BC边的垂直平分线上.
方法二，如答图2，过点F作FN⊥BE交BE的延长线于点N，过点F作FM⊥BC于点M.

∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE = ∠ABC = ∠N = 90°.
∴∠1 + ∠3 = 90°.
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC = EF，∠CEF = 90°.
∴∠1 + ∠2 = 90°.
∴∠2 = ∠3.
∴△ENF ≌ △CBE.
∴NF = BE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC.
∵AD = 2AB，BE = AB，
∴FN = $\frac{1}{2}$BC.
∵FM⊥BC，
∴∠BMF = ∠CBN = ∠N = 90°.
∴四边形MBNF是矩形.
∴BM = FN.
∴MB = $\frac{1}{2}$BC.
∴M为BC的中点.
∴点F在BC边的垂直平分线上.