《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

6. 原创 如图1，Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，E为BC边上的动点，将△AEC沿AE折叠得到△AEC'，AC'交线段BC于点O.
（1）当∠AEB = 60°时，CE的长为____.
（2）当AC'与AB重合时，BE的长为____.
拓展：如图2，当C'E//AB时，BE的长为____.

答案：
(1)$4 - \sqrt{3}$
(2)$\frac{3}{2}$
拓展：3
点拨：易求得$\angle AEC = 135^{\circ}$，推出$\angle AEB = 45^{\circ}$，则可得$BE = AB = 3$．

7. 已知直线l经过△ABC的顶点A，①请在图中画出△FED，使得△FED与△ABC关于直线l对称，点A，B，C的对应点分别为F，E，D. ②判断直线BC，ED的交点是否在直线l上，并证明.

答案：
解：①如答图，$\triangle FED$即为所求.
　　　　　　　　　　　
②证明：如答图所示，延长$BC$，$ED$交于点$M$，
易知直线$l$垂直平分$BE$．$\because AB = AE$，
$\therefore \angle ABE = \angle AEB$．又$\because \angle ABC = \angle AED$，
$\therefore \angle MBE = \angle MEB$．$\therefore MB = ME$．
$\therefore$点$M$在线段$BE$的垂直平分线上．$\therefore$点$M$在直线$l$上．

8. 教材变式 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形. 黄金矩形给我们以协调、匀称的美感. 下面我们折叠出一个黄金矩形：
动手操作：①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP；④展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE(图4)就是黄金矩形.

猜想证明：（1）如图3，判断四边形形ABPD的形状，并加以证明.
问题解决：（2）如图4，矩形BCDE中，$\frac{CD}{DE}$的值为____.

答案： 解：
(1)四边形$ABPD$为菱形.
证明：由题意得$BP// AD$，$\therefore \angle BPA = \angle DAP$，由折叠的性质得
$AB = AD$，$\angle BAP = \angle DAP$，
$\therefore \angle BPA = \angle BAP$，$\therefore AB = BP$，$\therefore AD = BP$，
$\therefore$四边形$ABPD$为平行四边形.
又$\because AB = AD$，
$\therefore$四边形$ABPD$为菱形.
(2)$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$