《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB上的一点，连接OE，过点O作OF⊥OE交BC于点F，若AD = 2，则四边形BFOE的面积为______.
　　　　　　　　　　　

答案： 1

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 6，BC = 8，在Rt△MPN中，∠MPN = 90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE = 2PF时，AP的长为______.
　　　　　　　　　　　

答案： 6

3. 如图1，在四边形ABCD中，∠DAB = 90°，BC = CD，AB = 6，AD = 8，∠B + ∠D = 180°，求对角线AC的长。
　　　　
变式：如图2，在四边形ABCD中，∠DAB = ∠DCB = 90°。连接AC，若AC = BC = 2CD = 5，求△ACD的面积。
　　

答案：
解：如答图1，过点C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E，则∠ACE = 90°，

∵∠DAB = 90°，∠ABC + ∠D = 180°，
∴∠DCB = 360° - (∠DAB + ∠ABC + ∠D) = 90°.
∴∠ECB = ∠ACD = 90° - ∠ACB.
∵∠ABC + ∠EBC = 180°，∠ABC + ∠D = 180°，
∴∠EBC = ∠D.
又
∵BC = DC，
∴△ECB ≌ △ACD(ASA).
∴EB = AD = 8，EC = AC.
∴AE = AB + EB = 6 + 8 = 14.
∵AC² + EC² = AE² = 14²，
∴2AC² = 14².
∴AC = 7√2.
∴对角线AC的长为7√2.
变式：如答图2，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，作CF⊥AB于点F.

则∠E = ∠DAF = ∠AFC = ∠BFC = 90°.
∴四边形AECF为矩形.
∴∠ECF = 90°，CE = AF，AE = CF.
∵∠DCB = ∠ECF = 90°，
∴∠DCB - ∠DCF = ∠ECF - ∠DCF，即∠DCE = ∠BCF.
∴△CED ~ △CFB.
∴CE/CF = DE/BF = CD/CB = 1/2.
∵AC = BC，CF⊥AB，
∴AF = BF.
设CE = x，则AF = BF = x，CF = 2x，DE = 1/2x.
在Rt△CBF中，根据勾股定理得BF² + CF² = BC².
∴x² + (2x)² = 5². 解得x = √5或x = -√5(舍去).
∴CE = √5，CF = 2√5，DE = √5/2.
∴AD = AE - DE = CF - DE = 3√5/2.
∴S△ADC = 1/2AD·CE = 1/2 × 3√5/2 × √5 = 15/4.