《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1. 原创 如图1，某景区为提升景区品质，沿人行道打造喷水景观。为保持人行道干燥(要求水柱不能喷射到人行道和护栏上)，水柱要喷入河中，水柱可近似看作抛物线。如图2是截面图，已知水平人行道宽OA = 3.5 m，AE是河道坝高，坝面AB的坡比为i = 1:0.5，水柱在距离喷水口O点右侧2 m位置处时，水柱距离人行道地面的高度达到最大值3 m。以点O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系。
　　　　　　　　　
(1)出于安全考虑，在坝顶A处安装护栏，若护栏高度为1.2 m，试判断是否符合要求。
(2)水柱恰好直接落在河水中(水面与AB交于点F处)时，求点F与人行道OA的竖直距离。
　

答案：
解:
(1)根据题意得抛物线的顶点坐标为(2,3)，设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 2)^2 + 3(a\neq0)$，
∵抛物线经过原点$O(0,0)$，
∴$0 = a\times(-2)^2 + 3$，解得$a = -\frac{3}{4}$.
∴抛物线的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 3$.
∵$OA = 3.5$，
∴将$x = 3.5$代入$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 3$，得$y = \frac{21}{16}$.
∵$1.2 ＜ \frac{21}{16}$，即水柱不能喷射到护栏上，
∴符合要求.
(2)如答图，过点$F$作$FG\perp AE$于点$G$，则$i = \frac{AG}{FG} = \frac{1}{0.5}$.
　　　　　
　设$AG = b\ m$，则$FG = 0.5b$.
∴点$F$的坐标为$(0.5b + 3.5,-b)$.
　将$(0.5b + 3.5,-b)$代入$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 3$，
　得$-\frac{3}{4}(0.5b + 1.5)^2 + 3 = -b$，解得$b_1 = -3$(舍)，$b_2 = \frac{7}{3}$.
　答：当水面距离人行道的竖直距离为$\frac{7}{3}\ m$时，水柱恰好落在河水中.