《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

4. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴正半轴上,球网AB与y轴的水平距离0A = 3m,CA = 2m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y = -0.4x + 2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y = a(x - 1)² + 3.2(a≠0).
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
　　

答案： 解：
(1)在$y=-0.4x + 2.8$中，令$x = 0$得$y = 2.8$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(0,2.8)$.
把$P(0,2.8)$代入$y=a(x - 1)^{2}+3.2$中，
得$a + 3.2 = 2.8$，解得$a=-0.4$，$\therefore a$的值是$-0.4$.
(2)$\because OA = 3$，$CA = 2$，$\therefore OC = 5$.$\therefore C(5,0)$.
在$y=-0.4x + 2.8$中，令$y = 0$得$x = 7$，
在$y=-0.4(x - 1)^{2}+3.2$中，令$y = 0$得$x=-2\sqrt{2}+1$(舍去)或$x = 2\sqrt{2}+1\approx3.83$.
$\because|7 - 5|\gt|3.83 - 5|$，
$\therefore$选择吊球方式，球的落地点到$C$点的距离更近.

跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点,落地点超过K点越远，飞行距离分越高.若滑雪标准台的起跳台的高度0A为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y = ax² + bx + c(a≠0).
(1)c的值为______.
(2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时a = -$\frac{1}{50}$,b = $\frac{9}{10}$,求基准点K的高度h;
②若a = -$\frac{1}{50}$,运动员落地点要超过K点,则b的取值范围为______.
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高度76m.试判断他的落地点能否超过K点,并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)66
(2)①$\because a=-\frac{1}{50}$，$b=\frac{9}{10}$，$\therefore y=-\frac{1}{50}x^{2}+\frac{9}{10}x + 66$.
$\because$基准点$K$到起跳台的水平距离为75 m，
$\therefore y=-\frac{1}{50}\times75^{2}+\frac{9}{10}\times75 + 66 = 21$.$\therefore h = 21$.
②$b\gt\frac{9}{10}$
(3)他的落地点能超过$K$点.理由如下：
由题意得抛物线的顶点坐标为$(25,76)$.
设抛物线的函数表达式为$y=a(x - 25)^{2}+76(a\neq0)$，
把$(0,66)$代入，得$66=a(0 - 25)^{2}+76$.
解得$a=-\frac{2}{125}$.$\therefore y=-\frac{2}{125}(x - 25)^{2}+76$.
当$x = 75$时，$y=-\frac{2}{125}\times(75 - 25)^{2}+76 = 36$.
$\because 36\gt21$，
$\therefore$他的落地点能超过$K$点.