《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

5. 教材变式 如图,Rt△ABC中,AB = 3,BC = 4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,旋转角为α(0° ＜ α ＜ 180°),连接BD,CE.
(1)旋转中心为点A,旋转角为____,△ABD与△ACE的形状都为____.
(2)当旋转角为____°时,△ABD与△ACE为等腰直角三角形.
(3)在旋转的过程中,当EA = EC时,CE = ____.
变式：当点D恰好落在AC边上时,△ABD的面积为____,BD的长为____.

答案：
(1)∠BAD或∠CAE　等腰三角形
(2)90
(3)5 变式:$\frac{18}{5}$ $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

6. 问题情境：两个完全相同的矩形ABCD和BEGF按图1方式放置,点A在BF上,点E在BC上.
猜想与证明：(1)判断四边形ABEM的形状,并说明理由.

深入探究：(2)将矩形BEGF绕点B按顺时针方向旋转,旋转角记为α(0° ＜ α ＜ 90°),如图2,当点F恰好落在AD上时,点C恰好落在EG上,FG与CD交于点M. 请直接写出DM和GM的数量关系.

(3)如图3,矩形BEGF绕点B继续按顺时针方向旋转,FG与CD交于点M,试判断(2)中结论是否仍然成立. 若成立,请证明；若不成立,请说明理由.

答案：

(1)四边形ABEM是正方形.
理由如下:
∵矩形ABCD和BEGF是两个完全相同的矩形,
∴AB = BE,∠B = ∠BEM = ∠BAM = 90°.
∴四边形ABEM是矩形.
又
∵AB = BE,
∴四边形ABEM是正方形.
(2)DM = GM.
(3)成立.
证明如下:如答图,连接BM,
　　　　　　　　　　　
由题意可知:BF = BC,∠BFG = ∠BCD = 90°,FG = DC,
在Rt△BFM和Rt△BCM中,$\begin{cases}BM = BM,\\BF = BC,\end{cases}$
∴Rt△BFM≌Rt△BCM(HL).
∴CM = FM.
∴FG - FM = CD - CM,即GM = DM.