《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

10. 宁化府是山西太原百年老店，其酿造的醋深受人们的喜爱。春节前夕某款礼盒装食醋的成本为20元，当以每盒30元销售时，平均每天可卖出800盒。经市场调查发现，若一盒的售价每降低1元，则平均每天可多售出200盒。求每盒售价为多少元时，该款礼盒每天的销售利润最大，并求出最大利润。

答案： 解：设每盒降价x元时，每天销售利润为y元.
由题可得y = (30 - x - 20)(800 + 200x)=(10 - x)(800 + 200x)，
∴y = -200(x - 3)²+ 9800.
∵a = -200 ＜ 0，
∴x = 3时，y取最大值，最大值为9800.
此时30 - x = 27.
答：当每盒售价为27元时，销售利润最大，最大利润为9800元.
思路分析
(1)单盒利润×数量 = 总利润
(2)30 - x 800 + 200x (30 - 20 - x)(800 + 200x)

11. 教材变式 如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m。假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m²)。
(1)请直接写出y与x，S与x之间的函数关系式。(不要求写x的取值范围)
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由。
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵2x + y = 80，
∴y = -2x + 80.
∵S = xy，
∴S = x(-2x + 80)= -2x²+ 80x.
(2)
∵y≤42，
∴-2x + 80≤42，
∴x≥19.
∴19≤x ＜ 42.
当S = 750时，-2x²+ 80x = 750，
x²- 40x + 375 = 0.
解得x₁= 25，x₂= 15(舍去).
∴x = 25.
当x = 25时，矩形实验田的面积S能达到750 m².
(3)
∵S = -2x²+ 80x = -2(x - 20)²+ 800，
∴当x = 20时，S有最大值，最大面积为800 m².

教材变式 如图，某高尔夫球运动员击出的高尔夫球的运动路线可近似地看作一条抛物线。当该高尔夫球从A点击出时，水平运动了24 m时达到最高点P，落球点B比击球点A竖直高度低1 m，它们的水平距离为50 m。
(1)建立适当的平面直角坐标系，将原点标记为O，设该高尔夫球距原点O的竖直高度为y(m)，水平距离为x(m)，求y关于x的二次函数表达式。
一题多解
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)当该高尔夫球运动到最高点P时，求点P与点A之间的竖直高度。
一题多解

答案：
解：方法一，
(1)如答图1，击球点A所在的竖直线为y轴，落球点B所在的水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题可知，AO = 1 m，BO = 50 m.
　　　　　　　　
∴A(0,1)，B(50,0)
∵该高尔夫球水平运动了24 m时，达到最高点P，
∴顶点P的横坐标为24.
∴设抛物线的函数表达式为y = a(x - 24)²+ k(a ≠ 0).
把A(0,1)，B(50,0)代入得
$\begin{cases}1 = 24^{2}a + k\\0 = 26^{2}a + k\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -0.01\\k = 6.76\end{cases}$
∴二次函数的表达式为y = -0.01(x - 24)²+ 6.76.
(2)
∵y = -0.01(x - 24)²+ 6.76，
∴顶点P的坐标为(24,6.76).
又
∵击球点A(0,1)，
∴6.76 - 1 = 5.76 m.
∴点P与点A之间的竖直高度为5.76 m.
方法二，
(1)如答图2，以击球点A所在的水平线为x轴，顶点P所在的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
　　　　　　　
由题可知AO = 24 m，落球点B到击球点A的水平距离为50 m.
∵落球点B比击球点A的竖直高度低1 m，50 - 24 = 26 m.
∴A(-24,0)，B(26,-1).
∵顶点P在y轴上，设y = ax²+ c(a ≠ 0)，
把A(-24,0)，B(26,-1)代入得
$\begin{cases}0 = 24^{2}a + c\\-1 = 26^{2}a + c\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -0.01\\c = 5.76\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y = -0.01x²+ 5.76.
(2)
∵y = -0.01x²+ 5.76.
∴顶点P(0,5.76).
∵击球点A在x轴上，
∴点P与点A之间的竖直高度为5.76 m.