《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，点M，N在边BC上，且∠MAN = 45°，MB = 1，CN = 3，求MN的长.
　　

答案：
解：如答图，过点$C$作$CE\perp BC$，垂足为$C$，截取$CE = BM = 1$.连接$AE$，$EN$.

$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle B=\angle ACB = 45^{\circ}$.
$\because CE\perp BC$，$\therefore\angle ECN = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle ACE = 90^{\circ}-\angle ACB = 45^{\circ}$.
$\therefore\angle ACE=\angle B$.
在$\triangle ACE$和$\triangle ABM$中，$AC = AB$，$\angle ACE=\angle B$，$CE = BM$，
$\therefore\triangle ACE\cong\triangle ABM(SAS)$.
$\therefore AE = AM$，$\angle CAE=\angle BAM$.
$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle MAN = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle BAM+\angle CAN = 45^{\circ}$.
$\therefore\angle CAE+\angle CAN = 45^{\circ}$，即$\angle EAN = 45^{\circ}$.$\therefore\angle MAN=\angle EAN$.
在$\triangle MAN$和$\triangle EAN$中，
$AM = AE$，$\angle MAN=\angle EAN$，$AN = AN$，
$\therefore\triangle MAN\cong\triangle EAN(SAS)$.$\therefore MN = EN$.
在$Rt\triangle ENC$中，$CE = 1$，$CN = 3$，
$\therefore EN=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.$\therefore MN=\sqrt{10}$.

3. (1) 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF = 45°，直接写出线段BE，DF，FE之间的数量关系:____________________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2) 如图2，若点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上，∠EAF = 45°，连接EF，猜想BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由.
　　

答案：
解：
(1)$BE + DF = EF$
(2)$BE = DF + FE$.理由如下：
如答图，在$BE$上取一点$G$使得$BG = DF$，连接$AG$.

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = AD$，$\angle B=\angle ADC=\angle BAD = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle ADF = 90^{\circ}$.$\therefore\triangle ABG\cong\triangle ADF(SAS)$.
$\therefore AG = AF$，$\angle BAG=\angle DAF$.
$\because\angle DAF+\angle EAD=\angle EAF = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle BAG+\angle EAD = 45^{\circ}$.$\therefore\angle GAE = 45^{\circ}$.$\therefore\angle GAE=\angle EAF$.
又$\because AE = AE$，$\therefore\triangle AGE\cong\triangle AFE(SAS)$.$\therefore GE = FE$.
又$\because BE = BG + GE$，$\therefore BE = DF + EF$.