《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2. (2024省适应一改编)项目化学习
项目主题：优化大豆种植密度。
项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”。某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习。
驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系。
研究步骤：
①在劳动实践基地中选定6块单位面积(1平方米)的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计；
③数据分析，形成结论。
试验数据：
　　　　　　

问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务。
(1)根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y(粒)是种植株数x(株)的______函数(选填“一次”“二次”“反比例”)，求出y与x的函数关系式。
(2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量(单位：粒)最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植数量的方案。
思路分析
(1)根据表格数据，发现单株的平均产量随着种植株数的增加而均值减少，那么可以得到什么函数模型？
(2)主干等量关系：总产量 = 单株的平均产量×单位面积试验田的种植株数。
　　

答案： 解:
(1)一次
　设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b(k\neq0)$，
　将点$(30,51)$，$(40,46)$代入$y = kx + b(k\neq0)$中，
　得$\begin{cases}51 = 30k + b\\46 = 40k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -0.5\\b = 66\end{cases}$.
∴$y$与$x$的函数关系式为$y = -0.5x + 66(30\leq x\leq80)$.
(2)设单位面积试验田大豆的总产量为$w$粒.
　根据题意得$w = xy = -0.5x^2 + 66x$.
∵$-0.5 ＜ 0$，
∴$w$有最大值.
∵$30\leq x\leq80$，
∴当$x = -\frac{66}{2\times(-0.5)} = 66$时，$w$最大.
∴当单位面积试验田种植株数为66株时，可使大豆的总产量最大.