《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1. 教材变式 如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB = 90°.
(1)若∠BCD = 50°，则∠ABD = ______°.

(2)若OA = 2，OD = 1，则AB的长为______.

答案：
(1)40　
(2)$\sqrt{7}$

2. 如图，在□ABCD中，要在对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形.现有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案是______.(填上所有正确的方案)
甲：只需要满足BE = DF
乙：只需要满足AE = CF
丙：只需要满足AE//CF

答案： 甲、丙

3. (2017山西第17题)如图，在□ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE = DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE = OF.

答案： 解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD.
∵BE=DF,
∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.
∵AB//CD,
∴AE//CF;
∴∠E=∠F,∠OAE=∠OCF.
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF.

4. 教材变式 如图1，在□ABCD中，点E，F分别为AD，BC上的动点.
(1)若AE = CF，求证：四边形BEDF是平行四边形.

(2)如图2，在(1)的基础上，连接AC分别交BE，DF于点G，H，连接DG，BH，判断四边形BGDH的形状，并说明理由.

(3)如图3，若BE⊥AC于点G，DF⊥AC于点H，连接DG，BH，则(2)中的结论还成立吗？为什么？

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC.
∵AE=CF,
∴AD−AE=BC−CF,即DE=BF;
　又
∵DE//BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)四边形BGDH是平行四边形.
　理由如下:由
(1)得四边形BEDF是平行四边形，
∴EB//DF,即GB//DH,且∠EBF=∠EDF;
　又
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,∠ABC = ∠ADC.
∴∠BAG=∠DCH,∠ABC−∠EBF=∠ADC−∠EDF,
　即∠ABG=∠CDH.
∵∠ABG=∠CDH,AB=CD,∠BAG=∠DCH,
∴△ABG≌△CDH(ASA).
∴BG=DH.
　又
∵BG//DH,
∴四边形BGDH是平行四边形.
(3)成立.
　理由如下:
∵BE⊥AC于点G,DF⊥AC于点H,
∴∠AGB=∠CHD=∠BGH=∠DHG=90°.
∴BG//DH;
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD.
∴∠BAG=∠DCH;
∵∠BAG=∠DCH,∠AGB=∠CHD,AB=CD,
∴△ABG≌△CDH(AAS).
∴BG=DH.
　又
∵BG//DH,
∴四边形BGDH是平行四边形.