《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

1. 按一定规律排列的代数式:$2x,3x^{2},4x^{3},5x^{4},6x^{5},\cdots$,第n个代数式是　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $2x^{n}$
B. $(n - 1)x^{n}$
C. $nx^{n + 1}$
D. $(n + 1)x^{n}$

答案： D

2. (2024省适应性一)如图是一组有规律的图案,它们由边长相等的正三角形和正六边形组合而成,第1个图案中有6个正三角形,第2个图案中有10个正三角形,第3个图案中有14个正三角形……依此规律,第n个图案中有______个正三角形.(用含n的代数式表示)

答案： $(4n + 2)$

3. 观察下列等式:①$\frac{4^{2}-1^{2}}{6}=2+\frac{1}{2}$,②$\frac{5^{2}-2^{2}}{6}=3+\frac{1}{2}$,③$\frac{6^{2}-3^{2}}{6}=4+\frac{1}{2}$,④$\frac{7^{2}-4^{2}}{6}=5+\frac{1}{2},\cdots$.
请按以上规律写出第n个等式:______________________________.

答案： $\frac{(n + 3)^{2} - n^{2}}{6} = n + 1 + \frac{1}{2}$

1. 新课标 代数推理 观察等式：$3^{2}-1^{2}=8×1,5^{2}-3^{2}=8×2,7^{2}-5^{2}=8×3,9^{2}-7^{2}=8×4,\cdots$.
（1）写出$19^{2}-17^{2}$的结果.
（2）按上面的规律归纳一个一般的结论.（用含$n$的等式表示，$n$为正整数）
（3）请运用所学知识，推理说明（2）中结论是正确的.

答案： 解：
(1)
∵$19^{2}-17^{2}=(19 + 17)\times(19 - 17)=36\times2 = 72$.
(2) 由题意可得$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$.
(3) 证明：
∵$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=[(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=4n\times2 = 8n$，
∴$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=8n$这个结论是正确的.