《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

观察下面的等式：$\frac{1}{1\times3}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{2\times4}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$，$\frac{1}{3\times5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$，…。
(1)按上面的规律归纳出一个一般结论。(用含n的等式表示，n为正整数)
(2)请运用分式的有关知识，推理说明(1)中归纳的结论是正确的。

答案： 解：
(1)由题意得$\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$.
(2)$\because$右边$=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})=\frac{1}{2}[\frac{n + 2}{n(n + 2)}-\frac{n}{n(n + 2)}]=\frac{1}{2}\times\frac{2}{n(n + 2)}=\frac{1}{n(n + 2)}=$左边，$\therefore\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$正确.