《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

考点三 图形的平移与探究
4. 如图1，一张矩形纸片ABCD，AB = 5，BC = 12，沿对角线BD剪开，得到两个全等的直角三角形，记为△ABD与△BCD. 固定△BCD，将△ABD沿BD方向平移，平移后的三角形记为△A′B′D′，且点B′在对角线BD上.
(1)当△ABD平移到点B′为BD中点时，四边形A′B′CD的周长是______.
　　　　
(2)请在图2中画出当△ABD平移到使四边形A′B′CD为菱形时的图形，并求出平移的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思路分析：
由四边形A′B′CD是菱形，可得出点A′与点C有什么特殊的位置关系?
由BB′ = BD - B′D，计算BD，B′D即可. △B′CD有什么特殊的性质?
(3)在(2)的条件下，不添加字母，利用已有顶点再构造一个菱形，在图3中画出这个菱形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)23
(2)画出的图形如答图1,

∵四边形ABCD是矩形,AB = 5,BC = 12,
∴DC = AB = 5,∠BCD = 90°.
∴BD = $\sqrt{DC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}+12^{2}}$ = 13.
当四边形A′B′CD为菱形时,连接A′C,则A′C⊥BD于点E,
∴∠B′EC = 90°,B′E = DE.
∴S△BCD = $\frac{1}{2}$BC·CD = $\frac{1}{2}$BD·CE.
∴$\frac{1}{2}$×12×5 = $\frac{1}{2}$×13CE.
∴CE = $\frac{60}{13}$.
在Rt△CDE中,DE = $\sqrt{DC^{2}-CE^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-(\frac{60}{13})^{2}}$ = $\frac{25}{13}$.
∴BB′ = BD - B′D = 13 - 2×$\frac{25}{13}$ = $\frac{119}{13}$.
即当四边形A′B′CD为菱形时,平移的距离为$\frac{119}{13}$.
(3)如答图2,菱形A′BCD′即为所作.