《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

2.【发现】已知两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
【验证】（1）例如$(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2}=10$为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和为_____.
【探究】（2）设“【发现】”中的两个已知正整数分别为$m,n$，请论证“【发现】”中的结论正确.

答案： 解：
(1)$5 = 1 + 4 = 1^{2}+2^{2}$
(2) 证明：
(2)$(m + n)^{2}+(m - n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}+m^{2}-2mn + n^{2}=2m^{2}+2n^{2}=2(m^{2}+n^{2})$.
所以，两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

原创 观察下列等式：
$(\frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{3}=(\frac{2}{3})^{2}-\frac{2}{3};(\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{4}=(\frac{3}{4})^{2}-\frac{3}{4};(\frac{2}{5})^{2}-\frac{2}{5}=(\frac{3}{5})^{2}-\frac{3}{5};(\frac{1}{7})^{2}-\frac{1}{7}=(\frac{6}{7})^{2}-\frac{6}{7};$
$(\frac{2}{7})^{2}-\frac{2}{7}=(\frac{5}{7})^{2}-\frac{5}{7};(\frac{3}{7})^{2}-\frac{3}{7}=(\frac{4}{7})^{2}-\frac{4}{7};\cdots$.
由上述例子可以得到一个特殊的等式：$a^{2}-a = b^{2}-b$.
（1）这个等式成立的条件是什么呢？下面是探究过程，请你补充完整：
设该等式成立，移项，得$a^{2}-b^{2}=a - b$.
将等式左边分解因式，得________________ = $a - b$，
再将等式右边的$a - b$移到左边，继续分解因式，得____________ = 0，
由此，即可得到等式$a^{2}-a = b^{2}-b$成立的条件为____________.
（2）当$a^{2}-a = b^{2}-b$中的$a,b$为分式时，得到如下等式：
$(\frac{m}{n})^{2}-\frac{m}{n}=(\frac{n - m}{n})^{2}-\frac{n - m}{n}$（$m,n$为任意实数，且$n\neq0$）.
请运用分式的有关知识，推理证明该等式.

答案： 解：
(1)$(a + b)(a - b)$ $(a - b)(a + b - 1)$ $a = b$或$a + b = 1$
(2) 证明：
∵左边$=\frac{m^{2}}{n^{2}}-\frac{mn}{n^{2}}=\frac{m^{2}-mn}{n^{2}}$，
右边$=\frac{n^{2}-2mn + m^{2}}{n^{2}}-\frac{n^{2}-mn}{n^{2}}=\frac{m^{2}-mn}{n^{2}}$，
∴左边 = 右边，
∴等式成立.