《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

典例精讲 ●掌握通性通法
配题说明：在复杂的几何背景下，图形绕特殊点进行旋转，进行综合推理与计算。
原创问题情境：已知，正方形ABCD中，点O是线段BC上的一个动点，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D'（点A，B，C，D的对应点分别是A'，B'，C'，D'）。设旋转角为0°＜α＜180°。
操作发现：当点O是BC的中点时。
(1)如图1，在正方形ABCD绕点O旋转过程中，连接BB'，B'C，CC'，C'B。判断四边形BB'CC'的形状，并说明理由。

(2)如图2，连接BD，当点B'落在正方形ABCD的对角线BD上时，旋转角α=______°；此时，四边形BB'CC'的形状是______。

(3)如图3，在正方形ABCD绕点O旋转过程中，连接AA'，BB'，DD'，则线段AA'，BB'的数量关系是______。线段AA'，DD'的数量关系是______。

思路分析
在旋转过程中，对应点到旋转中心的距离有什么关系？由此可以得出哪些结论？
拓广探索：当BO = 2CO时。
(4)在图4中连接AA'和BB'，请直接写出\frac{AA'}{BB'}=______。


(5)如图5，当线段A'D'经过点D时，猜想线段OC'与DD'满足的数量关系，并说明理由。
一题多解

(6)如图6，在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB'交线段AA'于点P。连接OP，并过点O作OQ⊥BB'于点Q。请在图6中补全图形，并直接写出\frac{OP}{OQ}的值。

思路分析
连接OA，OA'，OA与BP相交于点T。构造相似三角形：△OAA'∽△OBB'，△ATP∽△BTO，△ABT∽△POT。易证得∠APO = 90°。根据△APO∽△BQO可求得结果。

答案：
解:
(1)四边形BB'CC'是矩形.理由如下:
∵正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D',
∴BC=B'C'.
∵点O是BC的中点,
∴OB=OB′=OC=OC'.
∴四边形BB'CC'是平行四边形.
又
∵BC=B'C',
∴四边形BB'CC'是矩形.
(2)90　正方形
(3)AA' = $\sqrt{5}BB'$ AA' = DD'
(4)$\frac{\sqrt{13}}{2}$
(5)一题多解
DD' = 2OC'.理由如下:
方法一:如答图1，连接OD,OD'，作OH⊥DD'于点H,
　　　　　　　　　
则∠OHD' = 90°.
∵正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D',
∴OD=OD′,∠A'D'C'=∠D'C'B'=90°.
∴∠A'D'C'=∠D'C'B'=∠OHD'=90°.
∴四边形OHD'C'是矩形,
∴OC'=HD'
∵OD=OD',OH⊥DD'于点H,
∴DD'=2HD',即DD′=2OC'.
方法二,如答图2,连接OD,过D作DE⊥B'C'于点E.
　　　　　　　　　
易证△ODE≌△ODC,
可得OE=OC,从而得到OE=OC',
得出OC' = $\frac{1}{2}C'E=\frac{1}{2}DD'$
(6)补全的图形如答图3所示.$\frac{OP}{OQ}$的值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$
　　　　　　　　　
点拨:如图析.