《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

提分训练●方法触类旁通
(2023山西第23题)如图1，二次函数$y=-x^2 + 4x$的图象与$x$轴的正半轴交于点$A$，经过点$A$的直线与该函数图象交于点$B(1,3)$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求直线$AB$的函数表达式及点$C$的坐标.
　　

(2)如图2，点$P$是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点$P$作直线$PE\perp x$轴于点$E$，与直线$AB$交于点$D$，设点$P$的横坐标为$m$.
①当$PD=\frac{1}{2}OC$时，求$m$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②如图3，当点$P$在直线$AB$上方时，在图2的基础上连接$OP$，过点$B$作$BQ\perp x$轴于点$Q$，$BQ$与$OP$交于点$F$，连接$DF$.设四边形$FQED$的面积为$S$，求$S$关于$m$的函数表达式，并求出$S$的最大值.
　　

答案：
解：
(1)由y = -x² + 4x得，当y = 0时，-x² + 4x = 0.
解得x₁ = 0，x₂ = 4.
∵点A在x轴的正半轴上，
∴点A的坐标为(4,0).
设直线AB的函数表达式为y = kx + b(k ≠ 0).
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y = kx + b(k ≠ 0)，
得{4k + b = 0, k + b = 3.} 解得{k = -1, b = 4.}
∴直线AB的函数表达式为y = -x + 4.
将x = 0代入y = -x + 4，得y = 4.
∴点C的坐标为(0,4).
(2)①根据题意得点P，D的坐标分别为(m, -m² + 4m)，(m, -m + 4).
∴PE = -m² + 4m，DE = -m + 4，OE = m.
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC = 4.
∵PD = 1/2OC，
∴PD = 2.
如答图1，当点P在直线AB上方时，
　　　　　　　　　
PD = PE - DE = -m² + 4m - (-m + 4) = -m² + 5m - 4.
∵PD = 2，
∴-m² + 5m - 4 = 2.解得m₁ = 2，m₂ = 3.
如答图2，当点P在直线AB下方时，
　　　　　　　　　
PD = DE - PE = -m + 4 - (-m² + 4m) = m² - 5m + 4.
∵PD = 2，
∴m² - 5m + 4 = 2.解得m = (5 ± √17)/2.
∵0 ＜ m ＜ 1，
∴m = (5 - √17)/2.
综上所述，m的值为2或3或(5 - √17)/2.
②由①得，OE = m，PE = -m² + 4m，DE = -m + 4.
∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ = 1.
∵点P在直线AB上方，
∴EQ = m - 1.
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF = ∠OEP = 90°.
∴FQ//DE.
∵∠FOQ = ∠POE，
∴△FOQ ~ △POE.
∴FQ/PE = OQ/OE.
∴FQ/(-m² + 4m) = 1/m.
∴FQ = (-m² + 4m)/m = -m + 4.
∴FQ = DE.
∴四边形FQED为平行四边形.
∴S = EQ·FQ = (m - 1)(-m + 4)，即S = -m² + 5m - 4.
S = -m² + 5m - 4 = -(m - 5/2)² + 9/4.
∵1 ＜ m ＜ 4，
∴当m = 5/2时，S的最大值为9/4.