《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB = AD.
（1）如图2，过点D作DH⊥AC，若AB - AH = 1，DH = 3，求BD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）如图3，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，试判断线段AB，AC，AE之间的数量关系，并说明理由.
　　　

答案：
解：
(1)如答图1，过点D作DM⊥AB于点M，
　　　　　　　　　　
则∠AMD = ∠BMD = 90°.
∵DH⊥AC，
∴∠AHD = 90°.
∴∠AMD = ∠AHD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD = ∠HAD.
又
∵AD = AD，
∴△AMD≌△AHD(AAS).
∴AM = AH,DM = DH = 3.
∵AB - AH = 1，
∴AB - AM = BM = 1.
在Rt△BDM中，BD = $\sqrt{BM^{2}+DM^{2}}=\sqrt{10}$.
(2)AB + AC = 2AE，理由如下：
如答图2，延长AE至点P，使得EP = AE，连接CP，
　　　　　　　　　　
∵CE⊥AE，
∴CE垂直平分AP，
∴AC = CP.
∴∠CAP = ∠CPA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAC = ∠BAD.
∴∠CPA = ∠BAD.
∴AB//CP.
∴∠B = ∠DCP.
∵AB = AD，
∴∠B = ∠ADB.
∵∠ADB = ∠CDP，
∴∠CDP = ∠DCP.
∴PC = PD = AC.
∵AP = AD + PD，
∴2AE = AB + AC.