《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

综合与实践——折出正方形纸片一条边的黄金分割点
问题背景：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这个点就是这条线段的黄金分割点，这个比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
实践操作：通过以下操作，我们可以得到正方形纸片一条边的黄金分割点.
①如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，将折痕与BC的交点记为E，将纸片铺平.

②如图2，连接AE，将正方形纸片ABCD向下折叠，使得点D的对应点落在AE上，展开后，将折痕与CD的交点记为F，则点F为正方形ABCD的边CD的黄金分割点.

探究说明：试说明这种作法的道理.

答案：
解:如答图,延长$AF,EC$交于点$G$.

由折叠可知$BE = CE,\angle DAF = \angle EAF$.
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore AD = AB = BC = CD,\angle B = \angle BCD = \angle D = 90^{\circ},AD// BC$.
$\therefore \angle DAF = \angle G$.
$\therefore \angle EAG = \angle G$.
$\therefore AE = GE$.
设正方形$ABCD$的边长为$2a$,
则$AB = AD = 2a,BE = CE = a$,
在$Rt\triangle ABE$中,根据勾股定理得$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{5}a$.
$\therefore EG=\sqrt{5}a.\therefore CG = EG - CE=(\sqrt{5}-1)a$.
$\because \angle DAF = \angle G,\angle AFD = \angle GFC$,
$\therefore \triangle ADF\sim\triangle GCF$.
$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{GC}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\therefore$ 点$F$为$CD$边的黄金分割点.