《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

问题情境：某学习小组在探究学习过程中,将两块完全相同的且含60°角的直角三角形纸片ABC和AFE按如图1所示位置放置,∠A = 90°,且Rt△ABC的较短直角边AB的长为2. 现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0° ＜ α ＜ 90°),如图2,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.

初步探究：(1)在图2中,△ABM与△AFN全等吗? 请说明理由.

(2)连接AP,CE,得到图3,请证明直线AP垂直平分CE.

深入探究：(3)在旋转过程中,△AMC能成为等腰三角形吗? 如果能,请在备用图中画出此时的△AEF并写出相应的α；如果不能,请说明理由.

拓展：在旋转过程中,△PNC能成为直角三角形吗? 如果能,请画出此时的△PNC并写出相应的α；如果不能,请说明理由.

答案：
解:
(1)△ABM≌△AFN,理由如下:
∵Rt△ABC≌Rt△AFE,
∴AB = AF,∠B = ∠F.
由旋转可知∠BAM = ∠FAN,
∴△ABM≌△AFN(ASA).
(2)
∵Rt△ABC≌Rt△AFE,
∴AC = AE,∠ACB = ∠AEF.
∴∠AEC = ∠ACE.
∴∠AEC - ∠AEF = ∠ACE - ∠ACB,即∠PEC = ∠PCE.
∴PE = PC.
∴点A,点P都在线段CE的垂直平分线上.
∴直线AP垂直平分CE.
(3)能,此时的△AEF如答图1和答图2所示.
　　　　　 　　
AC = MC,α = 15° AM = CM,α = 60°
拓展:能,此时的△PNC如答图3和答图4所示.
　　　　　 　　　
∠PNC = 90°,α = 30° ∠NPC = 90°,α = 60°
点拨:因为∠C = 30°,所以分两种情况讨论:①∠CNP = 90°,②∠CPN = 90°.