《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

真题变式 在四边形ABCD中，点G为AD的中点.
（1）如图1，若四边形ABCD为平行四边形，过点C作CH⊥AB，垂足为H，连接CG，GH，求证：HG = CG.
　　

（2）如图2，若四边形ABCD为菱形，AB = 2，∠D为锐角，过点A作AM⊥CD，垂足为M，连接GM，BG. 若∠BGM = 90°，求出cos D的值.
　　

答案：
解:
(1)证明:如答图1,延长BA,CG交于点P,

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD.
∴∠PAG = ∠CDG.
∵点G是AD的中点,
∴AG = DG.
∵∠PGA = ∠CGD,
∴△PAG≌△CDG(ASA).
∴PG = CG = 1/2CP.
∵CH⊥AB,
∴∠PHC = 90°.
∴HG = 1/2CP.
∴HG = CG.
(2)如答图2,延长BA,MG交于点N,连接BM,

∵点G是AD的中点,
∴AG = DG.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB = AD = 2,AB//CD.
∴∠NAG = ∠D.
∵∠AGN = ∠DGM,
∴△AGN≌△DGM(ASA).
∴NG = GM,AN = DM.
∵BG⊥GM,
∴BG垂直平分MN.
∴BN = BM.
设AN = DM = x,则BN = BM = x + 2.
在Rt△ABM中,AM² = BM² - AB² = (x + 2)² - 2².
在Rt△ADM中,AM² = AD² - DM² = 2² - x².
∴(x + 2)² - 2² = 2² - x².
解得x₁ = $\sqrt{3}$ - 1,x₂ = -$\sqrt{3}$ - 1(舍去).
在Rt△ADM中,∠AMD = 90°,
∴cos D = $\frac{DM}{AD}$ = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.