《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

14.下面是小宇同学解分式方程$\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$的过程，请认真阅读并完成相应学习任务.
解：方程两边同乘$x - 2$得$x - 3 + 1 = -3$， …………………………………………… 第一步
解得$x = -1$. …………………………………………………………………………… 第二步
所以，原分式方程的解为$x = -1$. …………………………………………………… 第三步
任务：(1)上面的解题过程从第____步开始出现错误，错误的原因是____.
(2)上面的解题过程还缺少的步骤是____，请写出正确的解答过程.

答案： 解:
(1)一　常数项漏乘最简公分母
(2)检验
　方程两边同乘$x - 2$得$x - 3 + x - 2 = -3$，
　解得$x = 1$.
　检验:当$x = 1$时，$x - 2\neq0$.
　所以原分式方程的解为$x = 1$.

核心素养提升—问题解决
阿尔·花剌子米是著名数学家、天文学家、地理学家，也是代数与算术的创立者，被誉为“代数之父”.他利用以下方法求得一元二次方程$x^2 + 2x - 35 = 0$的一个正根：将边长为$x$的正方形、边长为1的正方形和两个长为$x$，宽为1的长方形拼合成面积为$x^2 + 2x + 1$的正方形.$x^2 + 2x - 35 = 0$变形得$x^2 + 2x + 1 = 35 + 1$，可理解为边长为$x + 1$的正方形面积为36.所以$(x + 1)^2 = 36$，则一元二次方程$x^2 + 2x - 35 = 0$的一个正根为$x = 5$.

(1)上述求解过程中最主要用的方法是____.
A.直接开平方
B.公式法
C.配方法
D.因式分解法
(2)他所用的最主要的数学思想方法是____.
A.分类讨论
B.数形结合
C.转化
D.整体思想
(3)运用上述方法构造出符合方程$x^2 + 6x - 7 = 0$的一个正根的正方形(画出拼接的正方形)，并求出正根.

答案：
解:
(1)C　
(2)B
(3)所画图形如答图所示,
　　　　　　　　　
$\because$方程$x^{2}+6x - 7 = 0$变形得$x^{2}+6x + 9 = 16$，
可理解为边长为$x + 3$的正方形面积为16.$\therefore(x + 3)^{2}=16$.
$\therefore x + 3 = 4$，方程$x^{2}+6x - 7 = 0$的一个正根为$x = 1$.