《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

3.（2017山西第22题改编）实践操作：如图1，在矩形纸片ABCD中，AD = 8 cm，AB = 12 cm.
第一步，如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平.
第二步，如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.
第三步，如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD'H，再沿AD'折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平.
　　　　　　　　　　　　　　
　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形.
（2）请在图4中判断NF与ND'的数量关系，并加以证明.

（3）请在图4中，求出FN的长.
　　　　　

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle D = \angle DAE = 90^{\circ}$.
由折叠知$AE = AD$，$\angle AEF = \angle D = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle D = \angle DAE = \angle AEF = 90^{\circ}$.$\therefore$四边形$AEFD$是矩形.
$\because AE = AD$，$\therefore$矩形$AEFD$是正方形.
(2)证明：$NF = ND'$. 证明如下：
如答图，连接$HN$.
由折叠知$\angle AD'H = \angle D = 90^{\circ}$，$HF = HD = HD'$.
$\because$四边形$AEFD$是正方形，$\therefore \angle EFD = 90^{\circ}$.
$\because \angle AD'H = 90^{\circ}$，$\therefore \angle HD'N = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle HNF$和$Rt\triangle HND'$中，$HN = HN$，$HF = HD'$，
$\therefore Rt\triangle HNF \cong Rt\triangle HND'$.$\therefore NF = ND'$.
(3)$\because$四边形$AEFD$是正方形，$\therefore AE = EF = AD = 8$.
由折叠知$AD' = AD = 8$. 设$NF = x\ cm$，则$ND' = x$.
$AN = AD' + ND' = 8 + x$，$EN = EF - NF = 8 - x$.
在$Rt\triangle AEN$中，由勾股定理，得$AN^{2} = AE^{2} + EN^{2}$，
即$(8 + x)^{2} = 8^{2} + (8 - x)^{2}$. 解得$x = 2$.$\therefore FN = 2\ cm$.