《2025年滚动迁移中考总复习数学山西专版》

提分训练 ●方法触类旁通
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，连接AC。保持矩形ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G。当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM。老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究。

初步思考：(1)如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD//OM，请你证明这一结论。

操作探究：(2)如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论。

拓展延伸：(3)已知AD = 2\sqrt{2}，CD = 2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度。

答案：
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°.
∵将△ADC绕点O顺时针旋转得到△EFG,
∴∠ADC=∠EFG,OD=OF,
∴∠BAD=∠EFG=90°,∠ODF=∠OFD.
∵∠ADC=90°,
∴∠EFG=90°.
∵O是AD的中点，
∴OA=OD,
∴OA=OF.
∵在Rt△OAM和Rt△OFM中，$\begin{cases}OM = OM,\\OA = OF.\end{cases}$
∴Rt△OAM≌Rt△OFM(HL).
∴∠AOM=∠FOM.
∵∠AOF是△OFD的一个外角，
∴∠AOF=∠AOM+∠FOM=∠ODF+∠OFD,
∴∠AOM=∠ODF,
∴FD//OM;
(2)证明:如答图1，延长OM交BG于点N.
　　　　　　　　　　
由
(1)知,Rt△OAM≌Rt△OFM,
∴AM=FM,∠AMO=∠FMO.
∵将△ADC绕点O顺时针旋转得到△EFG,
∴CD=GF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,
∴AB=GF;
∴AB−AM=GF−MF,即BM=GM.
∵∠AMO=∠FMO,∠AMO=∠BMN,∠FMO=∠GMN,
∴∠BMN=∠GMN,
∴OM垂直平分BG.
(3)2 - $\sqrt{2}$或1或$\sqrt{2}$
点拨:
∵以点F,C,D为顶点的三角形是等腰三角形,
∴FC=FD或FC=CD或FD=CD.
①当FC=FD时，点F在线段CD的垂直平分线上.
如图析1,过点F作FH⊥CD于H,延长HF交AB于L,过点O作OK⊥FH于K,
　　　　　　　　　　
则易得四边形AOKL,OKHD,ALHD均为矩形,
易得LK=OA=OD= $\sqrt{2}$.
易得DH = $\frac{1}{2}CD = 1$，
∴OK=AL=DH=1,
由旋转得OF=OD= $\sqrt{2}$.
在Rt△OKF中，根据勾股定理易得FK=1.
∴OK=FK=1,
∴△FKO是等腰直角三角形,
∴△FML是等腰直角三角形
∴ML=FL=LK−FK= $\sqrt{2}-1$.
∴AM=AL−ML=1−( $\sqrt{2}-1$) = 2 - $\sqrt{2}$
②当FC=CD时,如图析2,连接OC，
　　　　　　　　　　
由旋转得OF=OD,又
∵OC=OC,
∴△OCF≌△OCD(SSS),
∴∠CFE=90°,易得∠EFG=90°,即证C,F,G三点共线.
易证Rt△OAM≌Rt△OFM(HL).
∴AM=FM.
设AM=x,则易得BM=2−x,CM=CF+FM=2+x,
在Rt△BCM中,根据勾股定理列方程，解得x=1,即AM=1.
③当FD=CD时,如图析3,
　　　　　　　　　　
∵OF=OD= $\sqrt{2}$,DF=2,
∴OF²+OD²=FD²,
∴∠FOD=90°.
易得∠AOF=90°.
∴四边形AOFM是矩形,
∴AM=OF= $\sqrt{2}$